mediana i wartość oczekiwana dla zm.los ciągłej

[patricia__88]

Dla dystrybuanty
\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0, x<1 \\ lnx, 1\leqslant x \leqslant e\\1, x>e \end{cases}}\)
a) wyznacz medianę x _{0,5}
b) wyznacz wartosc oczekiwana EX-- 17 gru 2010, o 15:11 --\(\displaystyle{ E(X)= \int_{- \infty }^{+ \infty } xf(x)dx=lne-ln\left| e\right| -ln1+ln\left| 1\right|- \frac{e ^{2} }{2}}\)

[pyzol]

To jest dystrybuanta, a nie gęstość. Gęstość to pochodna z dystrybuanty... mniej więcej
\(\displaystyle{ f(x)=frac{1}{x}}\)
Chodzi o to, żeby całka z tej wartości na przedziale [1;t], t<e, dawała wartości dystrybuanty.
\(\displaystyle{ F(t)=\int_1 ^t\frac{1}{x}dx}\)
Wartość oczekiwana:
\(\displaystyle{ \mathcal{E}(x)=\int_1 ^e x\frac{1}{x}dx=e-1}\)
Więc logarytmy Ci się nie pojawią.
Możesz ewentualnie skorzystać ze wzoru:
\(\displaystyle{ \mathcal{E}(X)=\int_0^\infty (1-F(x))dx}\)
I tu skorzystasz z dystrybuanty. Wzór prawdziwy gdy \(\displaystyle{ X \ge 0}\).
Z tym, że całkowanie jest dość trudne, musisz podzielić sobie na 3 obszary
\(\displaystyle{ (0;1),(1,e),(e,\infty)}\).
Jeśli chodzi o drugie to szukamy takiej wartości że:
\(\displaystyle{ F(x)=\frac{1}{2}\\
\ln x=1/2\\
x=e^{\frac{1}{2}}}\)

[patricia__88]

super, dzieki wielkie