wylosowanie kuli czarnej

[bambusa1]

W pierwszej urnie są tylko kule czarne i białe, w drugiej urnie jest 6 kul niebieskich i 4 zielone, a w trzeciej urnie są 2 kule niebieskie i 8 zielonych. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny. Jeżeli wylosowana kula jest czarna, to losujemy jedną kulę z drugiej urny, a jeżeli biała, to losujemy jedną kulę z trzeciej urny. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej jest dwa razy większe od prawdopodobieństwa wylosowania kuli niebieskiej. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania z pierwszej urny kuli czarnej.

Oznaczyłam sobie prawd. wylosowania kuli czarnej z I urny przez x.
Wtedy prawd. wylosowania kuli nieb z II urny będzie równe \(\displaystyle{ \frac{6}{10}}\),a zielonej \(\displaystyle{ \frac{4}{10}}\)
Prawd. wylosowania kuli b z I wynosi \(\displaystyle{ 1-x}\).
Wtedy prawd. wylosowania kuli nieb z III wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{10}}\),a zielonej \(\displaystyle{ \frac{8}{10}}\).

wylosowano kule nieb z II pod warunkiem ze wylosowano kule czarną z I: \(\displaystyle{ x \cdot \frac{6}{10}}\)

wylosowano kule nieb z III pod warunkiem ze wylosowano kule białą z I: \(\displaystyle{ \frac{2}{10} \cdot (1-x)}\)

wylosowano kule ziel z II pod warunkiem ze wylosowano kule czarną z I: \(\displaystyle{ \frac{4}{10} x}\)

wylosowano kule ziel z III pod warunkiem ze wylosowano kule bialą z I: \(\displaystyle{ \frac{8}{10}(1-x)}\)

W tym zadaniu chyba tzreba zastosować wzór Bayesa, ale pogubiłam się w opisie tych zdarzeń, i nie wiem, co to jest zdarzenie \(\displaystyle{ B _{2}}\), a co \(\displaystyle{ A}\).

Proszę o pomoc-- 15 gru 2010, o 17:19 --Ma wyjśc \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)

[mkb]

Prawdopodobieństwa, które wyliczyłaś, już nie są warunkowe (jest to np. prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej w pierwszym losowaniu i kuli niebieskiej w drugim). Wystarczy więc dodać prawdopodobieństwa wylosowania kuli niebieskiej by obliczyć łączne prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej, podobnie dla uzyskania kuli zielonej. Iloraz prawdopodobieństw (zielona/niebieska) wynosi 2. Z równania wyliczysz x.

[mat_61]

Wskazówka:

Tutaj nie chodzi o wzór Bayes,a tylko o wzór na p-stwo całkowite. Z tego wzoru oblicz kolejno p-stwa wylosowania kuli zielonej oraz kuli niebieskiej w drugim losowaniu. Np.

\(\displaystyle{ P(Z)=P(Z/II) \cdot P(II)+P(Z/III) \cdot P(III)}\)

Z: wylosowano kulę zieloną
II: losowano z urny II
III: losowano z urny III

Następnie zapisz w postaci równania warunek: prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej jest dwa razy większe od prawdopodobieństwa wylosowania kuli niebieskiej i z otrzymanego równania wyznacz x.

W swoim poście masz już napisane wszystkie składniki obydwu p-stw. Wystarczy podstawić do wzoru.