Nierownosc miedzy dopełnieniem

[MakCis]

Udowodnić, że \(\displaystyle{ P( \bigcap_{i=1}^{n}A_i ) \ge 1 - \sum_{i=1}^{n} P(A_i ')}\).

[sdamian]

I: \(\displaystyle{ A'=\cup A_{i}'}\)
II: \(\displaystyle{ A=X\setminus A'=X\setminus\cup A'=\cap (X\setminus A_{i}')=\cap A_{i}}\)

\(\displaystyle{ P(A)=P(\cap A_{i})}\)

\(\displaystyle{ P(A)=1-P(A')=1-P(\cup A_{i}')\geq 1-\sum P(A_{i})}\)



\(\displaystyle{ d}\)

[MakCis]

Mógłbys napisać to nieco bardziej elegancko i z jakimś wyjaśnieniem?

[sdamian]

pierwsza linijka - przyjmujemy tak

druga linijka - wynika z def zdarzenia przeciwnego i z pierwszej linijki i z praw de"Morgana

trzecia linijka - wynika z drugiej linijki

pierwsza równość w czwartej linijce - def. p-stwa zdarzenia przeciwnego

druga równość w czwartej linijce - z pierwszej linijki

nierówność w czwatej linijce - wynika z pomnożonej przez (-1) nierówności \(\displaystyle{ P(\cup A_{i}')\leq \sum P(A_{i}')}\)