X\A oraz X\B niezależne, pokazać że A i B też są niezależne.

[rydz]

Witam, mam problem z tym zadaniem. Co nieco napisałem, ale wydaje mi się że jest to źle zrobione. Proszę o pomoc.

Założenie:
\(\displaystyle{ P(A'\cap B')=P(A') \cdot P(B')}\)

Teza:
\(\displaystyle{ P(A\cap B)=P(A) \cdot P(B)}\)

Dowód:
\(\displaystyle{ P(A\cap B)=P[(X-A')\cap (X-B')]=P(X-A') \cdot P(X-B')=[P(X)-P(A')] \cdot [P(X)-P(B')]=[1-P(A')] \cdot [1-P(B')]=P(A) \cdot P(B)}\)

[szatkus]

Masz błąd w
\(\displaystyle{ P[(X-A')\cap (X-B')]=P(X-A') \cdot P(X-B')}\)
Nie możesz zrobić takiego przejścia, jeśli (X-A') i (X-B') nie są niezależne (a tego jeszcze nie wiadomo).

Ja bym zaczął od:
\(\displaystyle{ A \cap B= \neg (\neg A \cup \neg B)}\)

[Inkwizytor]

Warto pokazać najpierw następujące:

\(\displaystyle{ A \cup A' = X \\
A \cap A' = \emptyset}\)

i teraz

1. Na podstawie powyższego: \(\displaystyle{ X \setminus A' = A}\)
2. \(\displaystyle{ P( \emptyset) = 0}\)
3. \(\displaystyle{ P(X) = P(A \cup A') = P(A) + P(A') - P(A \cap A') = P(A) + P(A')}\)
czyli: \(\displaystyle{ P(A) = P(X)-P(A')}\) Podstawiamy punkt 1. i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P(X \setminus A') = P(X)-P(A')}\)

[rydz]

Teraz dobrze?

\(\displaystyle{ P(A \cap B)=P[(A' \cup B')']=1-P(A' \cup B')=1-[P(A')+P(B')-P(A' \cap B')]=1-P(A')-P(B')+P(A' \cap B')=1-P(A')-P(B')+P(A') \cdot P(B')=-P(B')(1-P(A'))+1-P(A')=(1-P(A')) \cdot (1-P(B'))=P(A) \cdot P(B)}\)