Zadanie.
W urnie jest pewna liczba kul białych i jedna kula czarna.
Losujemy jedna kulę z tej urny, a następnie z pozostałych drugą...
Ile powinno być kul białych w urnie ???
=> aby prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych byłó większe ??:
Moja łamigłówka ... - zechce ktoś ją rozwiązać??? {d
-
d(-_-)b
- Użytkownik
- Posty: 210
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock
- Pomógł: 98 razy
Moja łamigłówka ... - zechce ktoś ją rozwiązać??? {d
Oznaczmy:
n - ilość kul białych
A - wylosowanie kuli białej przy pierwszym losowaniu
B - wylosowanie kuli białej przy drugim losowaniu
C - wylosowanie dwóch kul białych
Na początek mamy zatem n kul białych i jedną kulę czarną
Zatem prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej przy pierwszym losowaniu wynosi
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{n}{n+1}}\)
Teraz po wylosowaniu kuli białej w urnie pozostało n-1 kul białych i 1 kula czarna, zatem
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{n-1}{n}}\)
Z treści zadania wynika, że prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych jest większe lub równe \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) , czyli
\(\displaystyle{ P(C)\geq\frac{2}{3}}\)
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ P(C)=P(A)*P(B)}\), zatem
\(\displaystyle{ P(C)=\frac{n}{n+1}*\frac{n-1}{n}\geq\frac{2}{3}}\)
Pozostaje zatem do policzenia taka nierówność
\(\displaystyle{ \frac{n-1}{n+1}\geq\frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{n-1}{n+1}-\frac{2}{3}\geq0}\)
sprowadzamy do wspólnego mianownika
\(\displaystyle{ \frac{n-5}{3n+3}\geq0}\) , skąd
\(\displaystyle{ n-5\geq0}\)
\(\displaystyle{ n\geq5}\) \(\displaystyle{ \wedge}\) \(\displaystyle{ n\in N}\)
, czyli
\(\displaystyle{ n\in \{5,6,7,...\}}\)
n - ilość kul białych
A - wylosowanie kuli białej przy pierwszym losowaniu
B - wylosowanie kuli białej przy drugim losowaniu
C - wylosowanie dwóch kul białych
Na początek mamy zatem n kul białych i jedną kulę czarną
Zatem prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej przy pierwszym losowaniu wynosi
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{n}{n+1}}\)
Teraz po wylosowaniu kuli białej w urnie pozostało n-1 kul białych i 1 kula czarna, zatem
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{n-1}{n}}\)
Z treści zadania wynika, że prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych jest większe lub równe \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) , czyli
\(\displaystyle{ P(C)\geq\frac{2}{3}}\)
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ P(C)=P(A)*P(B)}\), zatem
\(\displaystyle{ P(C)=\frac{n}{n+1}*\frac{n-1}{n}\geq\frac{2}{3}}\)
Pozostaje zatem do policzenia taka nierówność
\(\displaystyle{ \frac{n-1}{n+1}\geq\frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{n-1}{n+1}-\frac{2}{3}\geq0}\)
sprowadzamy do wspólnego mianownika
\(\displaystyle{ \frac{n-5}{3n+3}\geq0}\) , skąd
\(\displaystyle{ n-5\geq0}\)
\(\displaystyle{ n\geq5}\) \(\displaystyle{ \wedge}\) \(\displaystyle{ n\in N}\)
, czyli
\(\displaystyle{ n\in \{5,6,7,...\}}\)