Szczegółowa kontrola weryfikuje produkcje o wadliwości 1%. Wyznaczyć rozkład czasu
oczekiwania na pierwszy brak. Obliczyć średni czas oczekiwania na pierwszy brak. Wyznaczyć
rozkład czasu oczekiwania na drugi brak i średnia tego czasu.
Wiem, że rozkład będzie geometryczny.
Wzorki znam, ale jak dojść do nich samemu?
Proszę o pomoc
Rozkład i wartość oczekiwana
-
mazi_piotrek
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 29 gru 2008, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lądek Zdrój
- Podziękował: 3 razy
-
Brycho
- Użytkownik
- Posty: 62
- Rejestracja: 4 gru 2010, o 10:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kalety , woj. Śląśkie
- Pomógł: 5 razy
Rozkład i wartość oczekiwana
edit (07.12.10r.)
Mam coś , mało , ale zawsze coś.
Ilość produktów musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 100}\). Zatem jest ich \(\displaystyle{ 100k}\) dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ k}\). Wśród nich jest \(\displaystyle{ k}\) zepsutych . Ustawiamy produkty w szeregu. Komisja sprawdza je po kolei. Wszystkich różnych rozmieszczeń jest \(\displaystyle{ {100k\choose k}}\). Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo , że pierwszy znaleziony brak będzie \(\displaystyle{ n}\)-ty z kolei. Rozmieszczeń pozostałych produktów , za tym pierwszym, gdzie ten pierwszy brak będzie \(\displaystyle{ n}\)-ty z kolei jest oczywiście \(\displaystyle{ {100k-n\choose k-1}}\). Jeżeli komisja sprawdza jeden produkt w czasie \(\displaystyle{ t}\) , to \(\displaystyle{ p(nt)=\frac{{100k-n\choose k-1}}{{100k\choose k}}}\) ,
gdzie \(\displaystyle{ p(nt)}\) to prawdopodobieństwo, że czas oczekiwania wyniesie na 1-y produkt wyniesie \(\displaystyle{ nt}\) na 1-y brak.
Mam coś , mało , ale zawsze coś.
Ilość produktów musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 100}\). Zatem jest ich \(\displaystyle{ 100k}\) dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ k}\). Wśród nich jest \(\displaystyle{ k}\) zepsutych . Ustawiamy produkty w szeregu. Komisja sprawdza je po kolei. Wszystkich różnych rozmieszczeń jest \(\displaystyle{ {100k\choose k}}\). Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo , że pierwszy znaleziony brak będzie \(\displaystyle{ n}\)-ty z kolei. Rozmieszczeń pozostałych produktów , za tym pierwszym, gdzie ten pierwszy brak będzie \(\displaystyle{ n}\)-ty z kolei jest oczywiście \(\displaystyle{ {100k-n\choose k-1}}\). Jeżeli komisja sprawdza jeden produkt w czasie \(\displaystyle{ t}\) , to \(\displaystyle{ p(nt)=\frac{{100k-n\choose k-1}}{{100k\choose k}}}\) ,
gdzie \(\displaystyle{ p(nt)}\) to prawdopodobieństwo, że czas oczekiwania wyniesie na 1-y produkt wyniesie \(\displaystyle{ nt}\) na 1-y brak.
Ostatnio zmieniony 7 gru 2010, o 16:15 przez Brycho, łącznie zmieniany 2 razy.
-
mazi_piotrek
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 29 gru 2008, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lądek Zdrój
- Podziękował: 3 razy
Rozkład i wartość oczekiwana
A ja mam takie coś:
\(\displaystyle{ P(X = k) = (0.99)^{k - 1} \cdot 0.01 = q^{k - 1} \cdot p}\)
\(\displaystyle{ EX = \sum_{k = 1}^{\infty} k \cdot q^{k - 1} \cdot p = p \sum_{k = 1}^{\infty} (q^{k})' = p(\sum_{k = 1}^{\infty} q^{k})' = p(\frac{q}{1 - q})' = \frac{1}{p}}\)
\(\displaystyle{ EX = \frac{1}{p}}\)
Czy to jest dobrze?
Jak zrobić dalszą część zadania?
\(\displaystyle{ P(X = k) = (0.99)^{k - 1} \cdot 0.01 = q^{k - 1} \cdot p}\)
\(\displaystyle{ EX = \sum_{k = 1}^{\infty} k \cdot q^{k - 1} \cdot p = p \sum_{k = 1}^{\infty} (q^{k})' = p(\sum_{k = 1}^{\infty} q^{k})' = p(\frac{q}{1 - q})' = \frac{1}{p}}\)
\(\displaystyle{ EX = \frac{1}{p}}\)
Czy to jest dobrze?
Jak zrobić dalszą część zadania?
-
Brycho
- Użytkownik
- Posty: 62
- Rejestracja: 4 gru 2010, o 10:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kalety , woj. Śląśkie
- Pomógł: 5 razy
Rozkład i wartość oczekiwana
Masz rację z tym podejściem .
Twoją \(\displaystyle{ EX}\) bez pochodnej można elementarnie obliczyć tak:
\(\displaystyle{ EX=\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot q^{k-1}\cdot p = \frac{p}{q}\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot q^{k}=\frac{p}{q}(1\cdot q + 2\cdot q^{2} + 3 \cdot q^{3}\+\ldots)=}\)
\(\displaystyle{ +\frac{p}{q} \left( q+q^{2}+q^{3}+\ldot \parallel q^{2}+g^{3}+q^{4}+\ldots \parallel q^{3}+q^{4}+q^{5}\ldots \parallel \ldots \right) =}\)
\(\displaystyle{ =\frac{p}{q}(\frac{q}{1-q}+\frac{q^{2}}{1-q}+\frac{q^{3}}{1-q}+\ldots)=\frac{p}{q}\left( \frac{1}{1-q} (q+q^{2}+q^{3}+\ldots ) \right) =}\)
\(\displaystyle{ =\frac{p}{q} \left( \frac{1}{1-q} \cdot \frac{q}{1-q} \right) = \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{(1-q)^{2}}= \frac{p}{q} \cdot \frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{p}}\)
Twoją \(\displaystyle{ EX}\) bez pochodnej można elementarnie obliczyć tak:
\(\displaystyle{ EX=\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot q^{k-1}\cdot p = \frac{p}{q}\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot q^{k}=\frac{p}{q}(1\cdot q + 2\cdot q^{2} + 3 \cdot q^{3}\+\ldots)=}\)
\(\displaystyle{ +\frac{p}{q} \left( q+q^{2}+q^{3}+\ldot \parallel q^{2}+g^{3}+q^{4}+\ldots \parallel q^{3}+q^{4}+q^{5}\ldots \parallel \ldots \right) =}\)
\(\displaystyle{ =\frac{p}{q}(\frac{q}{1-q}+\frac{q^{2}}{1-q}+\frac{q^{3}}{1-q}+\ldots)=\frac{p}{q}\left( \frac{1}{1-q} (q+q^{2}+q^{3}+\ldots ) \right) =}\)
\(\displaystyle{ =\frac{p}{q} \left( \frac{1}{1-q} \cdot \frac{q}{1-q} \right) = \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{(1-q)^{2}}= \frac{p}{q} \cdot \frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{p}}\)
-
mazi_piotrek
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 29 gru 2008, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lądek Zdrój
- Podziękował: 3 razy
-
Brycho
- Użytkownik
- Posty: 62
- Rejestracja: 4 gru 2010, o 10:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kalety , woj. Śląśkie
- Pomógł: 5 razy
Rozkład i wartość oczekiwana
No to drugi przypadek analogicznie:
Prawdopodobieństwo , że drugi niewypał będzie na \(\displaystyle{ k}\)-tym jest oczywiście \(\displaystyle{ p}\). A że jeden niewypał jest wśród k-1 pierwszych jest \(\displaystyle{ {k-1\choose 1} \cdot q^{k-2} \cdot p}\) (klasyczny schemat Bernouliego). Zatem :
\(\displaystyle{ P(k)=p \cdot{k-1\choose 1} \cdot q^{k-2} \cdot p = {k-1\choose 1} \cdot q^{k-2} \cdot p^{2}= (k-1)\cdot q^{k-2} \cdot p^{2}}\)
\(\displaystyle{ EX = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (k-1)\cdot q^{k-2} \cdot p^{2}=p^{2} \cdot \sum_{k=1}^{\infty}k \cdot (k-1) \cdot q^{k-2} = p^{2} \sum_{k=1}^{\infty} (q^{k})''=}\)
\(\displaystyle{ = p^{2}\left ( \sum_{k=1}^{\infty} q^{k} \right )^{''} = p^{2} \left ( \frac{q}{1-q} \right )^{ ''} = p^{2} \cdot \frac{2}{(1-q)^{3}}= p^{2} \cdot \frac{2}{p^3}= \frac{2}{p}=200}\)
Prawdopodobieństwo , że drugi niewypał będzie na \(\displaystyle{ k}\)-tym jest oczywiście \(\displaystyle{ p}\). A że jeden niewypał jest wśród k-1 pierwszych jest \(\displaystyle{ {k-1\choose 1} \cdot q^{k-2} \cdot p}\) (klasyczny schemat Bernouliego). Zatem :
\(\displaystyle{ P(k)=p \cdot{k-1\choose 1} \cdot q^{k-2} \cdot p = {k-1\choose 1} \cdot q^{k-2} \cdot p^{2}= (k-1)\cdot q^{k-2} \cdot p^{2}}\)
\(\displaystyle{ EX = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (k-1)\cdot q^{k-2} \cdot p^{2}=p^{2} \cdot \sum_{k=1}^{\infty}k \cdot (k-1) \cdot q^{k-2} = p^{2} \sum_{k=1}^{\infty} (q^{k})''=}\)
\(\displaystyle{ = p^{2}\left ( \sum_{k=1}^{\infty} q^{k} \right )^{''} = p^{2} \left ( \frac{q}{1-q} \right )^{ ''} = p^{2} \cdot \frac{2}{(1-q)^{3}}= p^{2} \cdot \frac{2}{p^3}= \frac{2}{p}=200}\)