Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a_1,\ldots, a_n}\) są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi oraz \(\displaystyle{ p>1}\) to: \(\displaystyle{ a_1^p+\left(\frac{a_1+a_2}{2}\right)^p+\ldots+\left(\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}\right)^p\leqslant \left(\frac{p}{p-1}\right)^p\sum_{i=1}^{n}a_i^p}\)
Pochodzi ona od Hardy'ego (1920), który w końcu udowodnił ją metodami dyskretnymi, jednak teoria martyngałów dostarcza znacznie zgrabniejszy dowód
