Estymator nieobiążony wariancji

[radzio515]

Niech \(\displaystyle{ X _{1}, X_{2}, ..., X_{n}}\) oznacza ciąg niezależnych zmiennych losowych o rozkładach \(\displaystyle{ N\left( m, \sigma \right)}\). Dobrać stałą m tak, aby funkcja:

\(\displaystyle{ w ^{2}=m \sum_{i=1}^{n-1}\left( X _{i+1}-X _{i} \right) ^{2}}\)

była nieobciążonym estymatorem wariancji.

Czy może mi ktoś wyjaśnić "po ludzku" jak to się rozwiązuje? Nie chodzi o sam wynik tylko też jak do niego dojść. Proszę o pomoc.

[luka52]

Musisz sprawdzić dla jakiego \(\displaystyle{ m}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ \mathbb{E} (w^2) = \mathbb{E} \left(m \sum_{i=1}^{n-1}\left( X _{i+1}-X _{i} \right) ^{2} \right) = \sigma^2}\)

Dalej należy obliczyć środkowy wyraz, przekształcając go odpowiednio.