Zmienne niezależne:rozkład wykładniczy

[dex_18]

Niech \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}}\) będą zmiennymi losowymi niezależnymi o jednakowym rozkładzie wykładniczym z gęstością: \(\displaystyle{ f(t)=exp(-t)}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\) i \(\displaystyle{ f(t)=0}\) dla \(\displaystyle{ t \le 0}\). Ile wynosi granica ciągu prawdopodobieństw warunkowych:

\(\displaystyle{ \lim_{R\to\infty} P(min(X_{1}, X_{2} )>R|X_{1}+ X_{2} >2R)?}\)

[jovante]

\(\displaystyle{ \lim_{R \to \infty}P\left(\mbox{min}(X_1,X_2)>R|X_1+X_2>2R\right)=\lim_{R \to \infty}\frac{\int_{R}^{\infty}\int_{R}^{\infty}e^{-x_1-x_2}\mbox{d}x_1\mbox{d}x_2}{\int_{0}^{\infty}\int_{max(2R-x_2,0)}^{\infty}e^{-x_1-x_2} \mbox{d}x_1 \mbox{d}x_2}=\\=\lim_{R \to \infty}\frac{1}{1+2R}=0}\)