Sto osób wśród których znajdują się panowie A i B, ustawia się w szereg w sposób losowy. Jakie jest prawdopodobieństwo ustawienia, w którym między panami A i B będzie stało dokładnie 40 osób?
W ogóle nie mam pomysłu. Jakieś wskazówki
Prawdopodobieństwo, że między A i B będzie stało 40 osób
-
Vieshieck
- Użytkownik
- Posty: 283
- Rejestracja: 19 cze 2007, o 08:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 59 razy
Prawdopodobieństwo, że między A i B będzie stało 40 osób
Wszystkich ustawień jest 100!
Zacznijmy od ustawienia panów A i B. Załóżmy, że A stoi bliżej początku. Może on stać na miejscach 1-59 (gdyby stał na 60, to B musiałby być na miejscu 101, co jest niemożliwe). Stąd ustawień A mamy 59. Może być też tak, że B stoi bliżej (też 59 możliwości). Pozostałe osoby możemy rozmieścić na 98! sposobów. Mamy więc:
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{98! \cdot 59 \cdot 2}{100!} = \frac{98! \cdot 59 \cdot 2}{98! \cdot 99 \cdot 100} = \frac{59 \cdot 2}{99 \cdot 100} = \frac{59}{4950}}\)
Zacznijmy od ustawienia panów A i B. Załóżmy, że A stoi bliżej początku. Może on stać na miejscach 1-59 (gdyby stał na 60, to B musiałby być na miejscu 101, co jest niemożliwe). Stąd ustawień A mamy 59. Może być też tak, że B stoi bliżej (też 59 możliwości). Pozostałe osoby możemy rozmieścić na 98! sposobów. Mamy więc:
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{98! \cdot 59 \cdot 2}{100!} = \frac{98! \cdot 59 \cdot 2}{98! \cdot 99 \cdot 100} = \frac{59 \cdot 2}{99 \cdot 100} = \frac{59}{4950}}\)