oblicz prawdopodobieństwo skarpetek w szufladzie

[k8amil]

W szufladzie znajdują się skarpetki zielone i niebieskie. Zielone skarpetki są co najmniej dwie, a niebieskich było 2 razy więcej niż zielonych. Z szuflady w sposób losowy wyciągnięto jedną skarpetkę, odłożono ją i wyciągnięto kolejną. Prawdopodobieństwo, że wylosowane w ten sposób dwie skarpetki były koloru zielonego, jest \(\displaystyle{ \frac{13}{33}}\) mniejsze od prawdopodobieństwa, że wyciągnięto dwie skarpetki różnych kolorów. Oblicz, ile skarpetek było w szufladzie.


Zadanie to było na próbnej maturze (p. rozszerzony), są oczywiście już odpowiedzi, ale ja nie rozumiem za bardzo sposobu, który podany jest w kluczu.

Jakby ktoś mógł dokładnie wytłumaczyć krok po kroku to byłby bardzo wdzięczny.

[mat_61]

Ale czego nie rozumiesz z podanego klucza odpowiedzi?

Tok postępowania jest taki:

x - ilość skarpetek Z
2x - ilość skarpetek N

P-stwo wylosowania skarpetki Z:

\(\displaystyle{ \frac{x}{3x}}\)

Zostaje skarpetek Z (x-1) i wówczas p-stwo wylosowania skarpetki Z:

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{3x-1}}\)

P-stwo wylosowania 2 skarpetek Z, to:

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{x}{3x} \cdot \frac{x-1}{3x-1}}\)

Analogicznie liczysz p-stwo wylosowania 2 różnych skarpetek, czyli kolejno Z i N lub N i Z otrzymując:

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{x}{3x} \cdot \frac{2x}{3x-1} + \frac{2x}{3x} \cdot \frac{x}{3x-1}}\)

I teraz zapisujesz w postaci równania zdanie:

Prawdopodobieństwo, że wylosowane w ten sposób dwie skarpetki były koloru zielonego, jest \(\displaystyle{ \frac{13}{33}}\) mniejsze od prawdopodobieństwa, że wyciągnięto dwie skarpetki różnych kolorów

\(\displaystyle{ P(A)=P(B)-\frac{13}{33}}\)

Podstawiasz odpowiednie wyrażenia, rozwiązujesz to równanie i wyznaczasz x, a następnie liczysz ile jest wszystkich skarpetek.

[k8amil]

P-stwo wylosowania skarpetki Z:

\(\displaystyle{ \frac{x}{3x}}\)

Czemu tak ? Jest jakiś wzór czy co ?

[chozz]

To nie wzór popatrz, skarpetek zielonych masz \(\displaystyle{ x}\),
a wszystkich skarpetek masz (zielone + niebieskie) \(\displaystyle{ x + 2x = 3x}\).

Zatem prawdopodobieństwo wylosowanie skarpetki zielonej to jej ilość, przez ilość wszystkich.

\(\displaystyle{ \frac{x}{3x}}\)

[mat_61]

Jest to klasyczna definicja p-stwa. Jeżeli mamy np. 30 owoców wśród których jest 11 gruszek to p-stwo wylosowania gruszki wynosi:

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{11}{30}}\)

Ponieważ losujemy 1 element to jest 30 możliwych wyników losowania (czyli moc zbioru Omega wynosi 30) i wśród nich jest 11 możliwych wyników losowania sprzyjających zdarzeniu A (czyli moc zbioru A wynosi 11)

W zadaniu analogicznie mamy x skarpetek Z i 2x skarpetek N. Wszystkich skarpetek jest więc 3x. Ponieważ losujemy jedną skarpetkę to mamy 3x możliwych wyników losowania (jest to moc zbioru Omega) wśród których jest x możliwych wyników losowania w których możemy wylosować skarpetkę Z (jest to moc zbioru A1). Stąd p-stwo wylosowania zielonej skarpetki, to:

\(\displaystyle{ P(A1)= \frac{|A1|}{|\Omega|} = \frac{x}{3x}}\)

Teraz to jest jasne?

[laser15]

czy po zapisaniu ilości skarpetek zielonych w postaci 2+n też wyjdzie?

Ponieważ ja tak obliczyłem i mi wyszło 1,8.. =n więc w przybliżeniu to samo Tylko nie wiem czy tak można ;D i to przybliżenie ;] ;/

[mat_61]

Sposób zapisania nie ma żadnego znaczenia, choć nie wiem skąd pomysł żeby ilość zielonych skarpetek zapisać jako \(\displaystyle{ n+2}\)
Jednak niezależnie od sposobu zapisu wynik obliczeń musi być poprawny (nie w jakimś przybliżeniu).

[laser15]

"są co najmniej dwie skarpetki zielone" z tego

[mat_61]

Można i tak, ale tak jak Ci napisałem wcześniej niezależnie od sposobu zapisu wynik obliczeń musi być poprawny (nie w jakimś przybliżeniu).