Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ (0,1)}\). Znaleźć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Y=-lnX}\)
Z góry dzięki za pomoc, bo pomimo przeczytania "teorii" rozkładu jednostajnego nijak nie moge rozwiązać tego zadania.. choć wydaje się niezbyt trudne.
Rozkład jednostajny
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Rozkład jednostajny
Chyba to tak było:
\(\displaystyle{ P(X\le \xi)= F_X(\xi)=\begin{cases}0,\ \xi \le 0\\\xi,\ \xi\in(0,1)\\1,\ \xi \ge 1\end{cases}}\)
I teraz mamy
\(\displaystyle{ F_Y(\xi)=P(Y\le \xi)=P(-\ln X\le \xi)=P(X \ge e^{-\xi})=1-P(X < e^{-\xi})}\)
i teraz
\(\displaystyle{ P(X < e^{-\xi})=F_X(e^{-\xi})=\begin{cases}0,\ e^{-\xi} \le 0\\e^{-\xi},\ e^{-\xi}\in(0,1)\\1,\ e^{-\xi} \ge 1\end{cases}=\begin{cases}e^{-\xi}, \xi\in(0,\infty)\\1,\ \xi \le 0 \end{cases}}\)
czyli
\(\displaystyle{ F_Y(\xi)=1-P(X < e^{-\xi})=\begin{cases}0,\ \xi \le 0\\1- e^{-\xi}, \xi\in(0,\infty)\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ P(X\le \xi)= F_X(\xi)=\begin{cases}0,\ \xi \le 0\\\xi,\ \xi\in(0,1)\\1,\ \xi \ge 1\end{cases}}\)
I teraz mamy
\(\displaystyle{ F_Y(\xi)=P(Y\le \xi)=P(-\ln X\le \xi)=P(X \ge e^{-\xi})=1-P(X < e^{-\xi})}\)
i teraz
\(\displaystyle{ P(X < e^{-\xi})=F_X(e^{-\xi})=\begin{cases}0,\ e^{-\xi} \le 0\\e^{-\xi},\ e^{-\xi}\in(0,1)\\1,\ e^{-\xi} \ge 1\end{cases}=\begin{cases}e^{-\xi}, \xi\in(0,\infty)\\1,\ \xi \le 0 \end{cases}}\)
czyli
\(\displaystyle{ F_Y(\xi)=1-P(X < e^{-\xi})=\begin{cases}0,\ \xi \le 0\\1- e^{-\xi}, \xi\in(0,\infty)\end{cases}}\)