dystrybuanta, punkt z koła

[katarzynakab]

Proszę o pomoc, jak rozwiązać takie zadanie Każde wskazówki mile widziane.

Losujemy punkt z koła o środku w (0, 0) i promieniu 1. Niech X będzie współrzędną x wylosowanego punktu. Znaleźć dystrybuantę i gęstość (o ile istnieje) zmiennej X.

[szw1710]

Dystrybuanta: F(x)=P(X<x)

Wyobraź sobie co to za zdarzenie: \(\displaystyle{ X<x}\) i jaka jest jego interpretacja geometryczna?

Oczywiście \(\displaystyle{ F(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x\le -1}\) oraz \(\displaystyle{ F(x)=1}\) dla \(\displaystyle{ x\ge 1}\).

Jeśli \(\displaystyle{ x\in(-1,1)}\), to trzeba koło przeciąć prostą pionową przecinającą oś odciętych w punkcie \(\displaystyle{ (x,0)}\) i policzyć pole lewej części koła dzieląc przez pole całego koła (prawdopodobieństwo geometryczne). To jest wartość dystrybuanty, bo wspomniany obszar zawiera zdarzenia sprzyjające zdarzeniu \(\displaystyle{ X<x}\). A gęstość? To pochodna dystrybuanty (o ile istnieje).

[katarzynakab]

A jak policzyć pole lewej części koła? Ze wzoru na odcinek koła uzależniając to od miary kąta środkowego? Czy istnieje jakiś sprytniejszy sposób?

[szw1710]

To chyba najzgrabniej

[katarzynakab]

chyba nie podołam... pole odcinka wyszło mi 0,5 \(\displaystyle{ \alpha}\)- 0,5 sin \(\displaystyle{ \alpha}\)
W takim wypadku dystybuanta była by równa \(\displaystyle{ \frac{\pi- (0,5\alpha- 0,5sin\alpha)}{\pi}}\)

Gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest miarą łukową kata środkowego.

ale czy to nie powinno być jakoś uzależnione od x?

[szw1710]

Powinno: \(\displaystyle{ \alpha}\) zależy od \(\displaystyle{ x}\). Idę spać, dobrej nocy.

[katarzynakab]

no okej. ale chodziło mi o to, czy mogę jeszcze coś z tym zrobić? Żeby wyeliminować \(\displaystyle{ \alpha}\) i zostawić samego x... Będę wdzięczna jeżeli jeszcze mi pomożesz w tej kwestii