Rezystancja obwodu elektrycznego jest zmienną losową o gęstości prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f_{R}(r)}\), natomiast napięcie U ma rozkład o gęstości prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f_{U}(u)}\) :
\(\displaystyle{ f_{R}(r) = \begin{cases} \frac{1}{r_{0}} :r \in (0, r_{0}] \\0 :r \not \in (0, r_{0}] \end{cases}}\), \(\displaystyle{ f_{U}(u) = \begin{cases} 0 :u \le 0\\ \lambda e^{-\lambda u} :u > 0; \lambda > 0 \end{cases}}\)
Znaleźć łączną gęstość prawdopodobieństwa wektora \(\displaystyle{ (R,U)}\), dystrybuanty brzegowe \(\displaystyle{ f_{R}(r)}\) i \(\displaystyle{ f_{U}(u)}\), dystrybuantę
łączną \(\displaystyle{ F(r,u)}\) i pokazać, że \(\displaystyle{ F(r,u) = f_{R}(r)⋅ f_{U}(u)}\).
Mam coś takiego:
\(\displaystyle{ F(r,u) = f_{R}(r) * f_{U} = \frac{1}{r_{0}} * \lambda e^{-\lambda u}}\)
Wydaje mi się że dalej można z tego rozpisać dwie całki, mam coś takiego:
\(\displaystyle{ f_{R}(r) = \int_{0}^{u}(\frac{1}{r_{0}} * \lambda e^{-\lambda u})du}\)
\(\displaystyle{ f_{U}(u) = \int_{0}^{r}(\frac{1}{r_{0}} * \lambda e^{-\lambda u})dr}\)
Po obliczeniu tych całek wychodzą mi bzdury bo \(\displaystyle{ F(r,u) = f_{R}(r)⋅ f_{U}(u)}\), a u mnie tak nie jest. Czy może ktoś coś podpowiedzieć lub poprawić błąd ?
Pozdrawiam.