Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń

Agatelle · Post autor: **Agatelle** » 15 lis 2010, o 18:13

W skrzyni przechowywanych jest 12 różnych par butów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrane dwa buty będą pochodziły z tej samej pary?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 15 lis 2010, o 18:17

Wskazówka:

- wszystkie możliwości - kombinacje
- ilość możliwych losowań w których wybierzemy parę jest ...(?)

Agatelle · Post autor: **Agatelle** » 15 lis 2010, o 18:30

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}}= 12 \cdot 12\\
\overline{\overline{\Omega}}}= 144\\
\overline{\overline{A}}} = 12\\
P(A) = \frac{12}{144} = \frac{1}{12}}\)
Umiem tylko w taki sposób, ale to jest niedobre rozwiązanie.

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 15 lis 2010, o 19:01

Dlaczego:

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}= 12 \cdot 12 \ ?}\)

Przecież losujemy 2 buty z 24. Kolejność losowania nie ma oczywiście znaczenia. Jak liczymy w takim przypadku ilość możliwych zdarzeń ?

Agatelle · Post autor: **Agatelle** » 15 lis 2010, o 22:22

To wychodzi, że moc zbioru wynosi \(\displaystyle{ 24}\). Wydarzeń sprzyjających jest dwa, czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{12}}\). W odpowiedzi jest inny wynik.

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 15 lis 2010, o 22:30

Nie tak.

Skąd masz 24 jako moc zbioru Omega? Skoro losujemy 2 buty z 24 to ilość możliwości losowania liczymy jako kombinacje.

A dlaczego są wg Ciebie tylko dwa zdarzenia sprzyjające skoro par jest 12? Przecież wylosowanie dowolnej pary jest zdarzeniem sprzyjającym.

Agatelle · Post autor: **Agatelle** » 16 lis 2010, o 16:37

Dwie kombinacje:
buty w parze są różne \(\displaystyle{ AA'}\)
Buty w parze są takie same \(\displaystyle{ AA}\)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = 2*24 - 2 = 46}\)
\(\displaystyle{ }\)
\(\displaystyle{ P(A) = 1/23}\)

Tak?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 17 lis 2010, o 07:04

Skąd wzięłaś takie obliczenia? Wynik przypadkowo jest dobry, ale obliczenia niestety nie.

Skoro butów jest 24 (a pary to 1-2, 3-4, 5-6 itd), to możemy losowo wybrać np. takie dwie sztuki {1;7} {3;5} {4;17} {7;8} itd.

Wszystkich możliwosci wyboru jest \(\displaystyle{ C^{2}_{24}}\).

Jeżeli dwa wylosowane buty miałyby stanowić parę, to musimy wylosować tak: {1;2} lub {3;4} lub {5;6} itd. Możliwych jest więc 12 róznych wyników losowania sprzyjających temu zdarzeniu.

I teraz liczymy p-stwo.

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{12}{C^{2}_{24}} = \frac{12}{ \frac{24!}{2! \cdot 22!} } = \frac{12}{23 \cdot 12} = \frac{1}{23}}\)

Musisz powtórzyć sobie podstawowe zagadnienia z kombinatoryki, bo w przeciwnym razie będziesz miała duże problemy z kolejnymi zadaniami z p-stwa.

Agatelle · Post autor: **Agatelle** » 17 lis 2010, o 17:32

Na podstawowym poziomie nie mam niczego prócz wzoru klasycznego i tzw. "drzewka". Dziękuję za pomoc. Postaram się to jakoś ogarnąć.