Zmienne losowe

[moniaaa84]

Witam, czy ktoś może pomóc? Proszę o wytłumaczenie.

Zadanie 1
Rzucamy 3 razy monetą. Niech zmienna losowa X oznacza liczbę uzyskanych orłów. Podaj
rozkład, wykres rozkładu, wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.

Zadanie 2
Prawdopodobieństwo uzyskania pomyślnego wyniku w jednym dsowiadczeniu wynosi 0, 75. Wykonujemy
200 doświadczeń. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję liczby pomyślnych wyników.


Dzięki!

[janusz47]

Zad.1
\(\displaystyle{ P(X = 0) = p_{0}= {3 \choose 0} \left ( \frac{1}{2} \right )^{0} \left ( \frac{1}{2} \right )^{3},}\)
\(\displaystyle{ P(X = 1) = p_{1} = { 3\choose 1} \left (\frac{1}{2} \right )^{1} \left (\frac{1}{2} \right )^{2},}\)
\(\displaystyle{ P(X = 2) = p_{2} = { 3\choose 2} \left (\frac{1}{2} \right )^{2} \left (\frac{1}{2} \right )^{1},}\)
\(\displaystyle{ P(X = 3) = p_{3} = { 3\choose 3} \left (\frac{1}{2} \right )^{3} \left (\frac{1}{2} \right )^{0}.}\)
Wartość oczekiwana:
\(\displaystyle{ E(X) = 0\cdot p_{0} + 1\cdot p_{1} + 2 \cdot p{2} + 3\cdot p_{3}.}\)
Wariancja:
\(\displaystyle{ V(X) = E(X^{2}) - (E(X))^{2}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ E(X^{2}) = 0^{2}\cdot p_{0} + 1^{2}\cdot p_{1} + 2^{2} \cdot p{2} + 3^{2}\cdot p_{3}.}\)

Zad.2

\(\displaystyle{ E(X) = n \cdot p = 200 \cdot 0.75 = 150}\)
\(\displaystyle{ V(X) = n \cdot p \cdot ( 1 - p) = 200 \cdot 0.75 \cdot (1 - 0.75) = 200\cdot 0.75 \cdot 0.25 = 37.5}\)