Na ile sposobów można rozmieścić 15 książek na trzech półach po 5 książek na półce?
Byłbym wdzięczny za pomoc
Książki na półkach
-
kropka+
- Użytkownik
- Posty: 4389
- Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 787 razy
Książki na półkach
Ilość piątek z 15-tu książek razy kolejność 3 półek razy kolejność 5 książek na półce, czyli
\(\displaystyle{ {15 \choose 5} \cdot 3! \cdot 5!}\)
\(\displaystyle{ {15 \choose 5} \cdot 3! \cdot 5!}\)
-
mat_61
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Książki na półkach
kropka+, to niestety nie jest poprawne rozwiązanie.
1) Jeżeli dzielimy zbiór 15 elementowy na 3 zbiory 5 elementowe, to jeżeli te zbiory są rozróżnialne (czyli np. przypisane do numeru półki) to ilość możliwości podziału wynosi:
\(\displaystyle{ {15 \choose 5} \cdot {10 \choose 5}}\)
Wybieramy 5 elementów z 15 na półkę A, 5 elementów z pozostałych na półkę B i ostatnie 5 elementów jest na półce C.
Wtedy oczywiście nie mnożymy już przez "kolejność 3 półek" tylko przez ilość możliwości rozmieszczenia wybranych książek na półce.
Jeżeli natomiast potraktujemy te 5-elementowe zbiory jako nierozróżnialne, to ilość możliwości podziału będzie równa:
\(\displaystyle{ \frac{{15 \choose 5} \cdot {10 \choose 5}}{3!}}\)
Jest tak dlatego, że jeżeli np. wybierzemy z 15 takich 5 elementów: A={1;2;3;4;5}, z pozostałych 10, 5 takich elementów B={6;7;8;9;10} i pozostaną takie C={11;12;13;14;15} to będzie to identyczny podział jak np. wybór najpierw zbioru C potem zbioru B, czy też wybór najpierw zbioru A potem zbioru C itd.
Oczywiście wówczas mnożymy ten wynik przez \(\displaystyle{ 3!}\) oraz \(\displaystyle{ 5!}\)
1) Jeżeli dzielimy zbiór 15 elementowy na 3 zbiory 5 elementowe, to jeżeli te zbiory są rozróżnialne (czyli np. przypisane do numeru półki) to ilość możliwości podziału wynosi:
\(\displaystyle{ {15 \choose 5} \cdot {10 \choose 5}}\)
Wybieramy 5 elementów z 15 na półkę A, 5 elementów z pozostałych na półkę B i ostatnie 5 elementów jest na półce C.
Wtedy oczywiście nie mnożymy już przez "kolejność 3 półek" tylko przez ilość możliwości rozmieszczenia wybranych książek na półce.
Jeżeli natomiast potraktujemy te 5-elementowe zbiory jako nierozróżnialne, to ilość możliwości podziału będzie równa:
\(\displaystyle{ \frac{{15 \choose 5} \cdot {10 \choose 5}}{3!}}\)
Jest tak dlatego, że jeżeli np. wybierzemy z 15 takich 5 elementów: A={1;2;3;4;5}, z pozostałych 10, 5 takich elementów B={6;7;8;9;10} i pozostaną takie C={11;12;13;14;15} to będzie to identyczny podział jak np. wybór najpierw zbioru C potem zbioru B, czy też wybór najpierw zbioru A potem zbioru C itd.
Oczywiście wówczas mnożymy ten wynik przez \(\displaystyle{ 3!}\) oraz \(\displaystyle{ 5!}\)