Oszacować prawdopodobieństwo

[hakuzaijo]

Zad.1
Strzelamy 300 razy do celu, przy czym prawdopodobieństwo trafienia do, celu za każdym razem wynosi 1/4. Oszacować prawdopodobieństwo, że ilość celnych strzałów będzie różnić się od 75 co do wartości
bezwzględnej o mniej niż 30 strzałów.

Zad.2
Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca wynosi 0,5. Oszacować prawdopodobieństwo, że częstość
urodzenia chłopca będzie co do wartości bezwzględnej różnić się od 0,5 mniej niż o 0,01, jeśli liczba urodzeń wynosi 100 000.

Za boga pana nie rozumiem treści tych zadań. Ktoś mógłby pomóc i powiedzieć jakiego wzorku użyć? Ewentualnie rozwiązać przykładowo chociaż jedno ?

[Zlodiej]

Miałeś CTG ?

Zad 1.

Niech \(\displaystyle{ X_i}\) zmienna losowa z rozkładu dwupunktowego, gdzie:
\(\displaystyle{ P(X_i=0)= \frac{3}{4}}\) prawdopodobieństwo, że w i-tym strzale strzelec nie trafił.
\(\displaystyle{ P(X_i=1)= \frac{1}{4}}\) prawdopodobieństwo, że w i-tym strzale strzelec trafił.

\(\displaystyle{ \overline{X_{300}}}\) - odsetek trafionych strzałów.

Obliczamy \(\displaystyle{ P(|\overline{X_{300}} - 75| < 30)}\) korzystając z Centralnego Twierdzenia Granicznego.

Zad 2. Analogicznie.

Niech \(\displaystyle{ X_i}\) zmienna losowa z rozkładu dwupunktowego, gdzie:
\(\displaystyle{ P(X_i=0)= \frac{1}{2}}\) prawdopodobieństwo, że za i-tym razem urodzi się dziewczynka.
\(\displaystyle{ P(X_i=1)= \frac{1}{2}}\) prawdopodobieństwo, że za i-tym razem urodzi się chłopiec.

\(\displaystyle{ \overline{X_{100000}}}\) - odsetek urodzonych chłopców.

Obliczamy \(\displaystyle{ P(|\overline{X_{100000}} - 0.5| < 0.1)}\) korzystając z Centralnego Twierdzenia Granicznego.

[hakuzaijo]

W tym problem, że nie. Mam listę zadań, którą mam zrobić na zasadzie "sam znajdź odpowiedź bo będę pytać".
Znalazłem ten wątek na forum https://www.matematyka.pl/132585.htm ale trochę moje zadanie się różni, a nie chciałbym powypisywać głupot.
Dzięki za dotychczasową pomoc, ale mógłbyś chociaż fragment wpisać do wzorku, a dalej to już spokojnie policzę.

[Zlodiej]

A na jakim poziomie jesteś ? liceum ? Jeżeli tak i nie miałeś tego co to jest wartość oczekiwana i wariancja i rozkład normalny itp. to nie ma sensu robić przez CTG, ale wtedy nie mam pojęcia jak to zrobić .

[hakuzaijo]

No właśnie problem w tym, że tu się student kłania
Chodzi mi tylko oto, żeby tylko jedną linijkę machnąć, wtedy zapewne pacnę się w łeb, powiem "przecież to proste" i obliczę wszystko do końca. Coś jak tutaj https://www.matematyka.pl/138138.htm facet odpowiedział.

[Zlodiej]

Oczywiście w pierwszym mam błąd . Nie powinniśmy brać \(\displaystyle{ P(|\overline{X_{300}} - 75| < 30)}\), ale \(\displaystyle{ P(|S_{300} - 75| < 30)}\), gdzie \(\displaystyle{ S_{300}}\) to suma \(\displaystyle{ X_i}\).

1. Na początku policzmy wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ m=E(X_i)}\) oraz odchylenie standardowe \(\displaystyle{ \sigma=\sqrt{D^2(X_i)}}\).

\(\displaystyle{ X_i}\) ma rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwie sukcesu \(\displaystyle{ p= \frac{1}{4}}\) stąd wiadomo, że \(\displaystyle{ m= \frac{1}{4}}\) oraz \(\displaystyle{ \sigma= \sqrt{ \frac{1}{4} \cdot (1- \frac{1}{4} )} = \frac{ \sqrt{3} }{4}}\)

Korzystając z CTG \(\displaystyle{ \frac{S_{300} -m\cdot 300}{\sigma\cdot \sqrt{300}}}\) ma rozkład normalny o parametrach (0,1) (standardowy rozkład normalny).

Przekształcamy \(\displaystyle{ P(|S_{300} - 75| < 30)}\):

\(\displaystyle{ m\cdot 300 = 75}\)

\(\displaystyle{ P(|S_{300} - 75| < 30) = P(-30< S_{300} - 75 < 30) =\\ = P(\frac{-30}{\sqrt{300}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}}< \frac{S_{300} - 75}{\sqrt{300}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4} } < \frac{30}{\sqrt{300}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}} ) = P(-4< \frac{S_{300} - 75}{\sqrt{300}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4} } < 4)}\)

Ponieważ wyrażenie między nierównościami ma rozkład N(0,1) to prawdopodobieństwo można zapisać następująco:

\(\displaystyle{ P(-4< \frac{S_{300} - 75}{\sqrt{300}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4} } < 4) = \Phi (4) - \Phi(-4) = \Phi(4) - (1 - \Phi(4)) = 2\cdot \Phi (4) - 1 \approx 1}\)

Gdzie \(\displaystyle{ \Phi}\) to dystrybuanta rozkładu normalnego standaryzowanego.

Co na zdrowy rozsądek się zgadza. Mając 300 strzałów i znając prawdopodobieństwo celnego strzału otrzymujemy, że powinniśmy trafiać średnio 75 razy, dlatego odchylenie od tej liczby o 30 jest bardzo bardzo mało prawdopodobne. Tym bardziej, że 30 to 10% wszystkich strzałów.

[hakuzaijo]

Po pierwsze - dziękuję Ci serdecznie. W bardzo przystępny i jasny sposób to wyjaśniłeś
Po drugie - właśnie dlatego statystyka nie jest moją najmocniejszą stroną - zbyt dużo rozmaitych kombinacji i możliwości.
Dzięki jeszcze raz i pozdrawiam.

[Zlodiej]

Jeszcze jedna uwaga.

W przypadku średniej mamy lekko inaczej:

\(\displaystyle{ \frac{\overline{X_{100000}}-m}{\sigma}\cdot \sqrt{100000}}\) ma rozkład N(0,1)