Witam,
\(\displaystyle{ f(x)=c(x^2+24x+150), x \in (0,1)}\)
jako zadanie domowe posiadam polecenie by:
1. Znaleźć stałą c, dla funkcji \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(x)dx = 1}\).
2. Niech zmienna losowa X ma rozkład zadany z gęstośćią \(\displaystyle{ f( \cdot )}\). Obliczyć momenty zwykłe \(\displaystyle{ m_{i} = EX ^{i}}\) dla i=1,2,3,4 i momenty centralne \(\displaystyle{ \mu_{i}= E(X-m_{1})^i}\)dla \(\displaystyle{ i = 2,3,4}\)
3. Znaleźć kwantyl rzędu \(\displaystyle{ \alpha = 0.15}\)
Ad. 1 Całkuję próbuję rozwiązać następująco:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} c( \frac{x^2}{3} +24x^2+150) \rightarrow c\int_{0}^{1} ( \frac{x^2}{3} +24x^2+150) \rightarrow c ( \frac{1}{3} + 12 - 150) \rightarrow \frac{238c}{3} = 1 \rightarrow c = 0,012605...}\)
Czy tak się rozwiązuje tą całkę? W sensie, czy nie zrobiłem żadnych nie dozwolonych operacji?
Ad. 2 No i tutaj temat jest dla mnie zupełnie nowy.
Skoro gęstość tej funkcji jest ciągła, to moment zwykły mogę policzyć całkę dla wartośći 1, i co dalej? pomnożyć ją przez podane i?
Znaleźć stałą oraz moment zwykły.
-
Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
Znaleźć stałą oraz moment zwykły.
1. Źle liczysz całkę...
2. Wzór na i-ty moment zwykły i i-ty moment centralny w tym przypadku to:
\(\displaystyle{ E(X^i)= \int_{0}^{1} x^i\cdot f(x) dx}\)
\(\displaystyle{ E((X-E(X))^i)= \int_{0}^{1} (x-(E(X))^i\cdot f(x) dx}\)
3. Znaleźć takie c, że \(\displaystyle{ \int_{0}^{c}f(x) dx = 0.15}\)
2. Wzór na i-ty moment zwykły i i-ty moment centralny w tym przypadku to:
\(\displaystyle{ E(X^i)= \int_{0}^{1} x^i\cdot f(x) dx}\)
\(\displaystyle{ E((X-E(X))^i)= \int_{0}^{1} (x-(E(X))^i\cdot f(x) dx}\)
3. Znaleźć takie c, że \(\displaystyle{ \int_{0}^{c}f(x) dx = 0.15}\)
Znaleźć stałą oraz moment zwykły.
Ad. 1
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} c( \frac{x^3}{3} + \frac{24x^2}{2} +150x) \rightarrow c\int_{0}^{1} ( \frac{x^3}{3} +\frac{24x^2}{2}+150x)}\)
Poprawiłem nieco zapis, ale wynik się nie zmienił. Pod iksa podstawiam liczbę 1. słusznie?
Ad. 2
Drugie dzięki Tobie właśnie zrozumiałem : )
Ad. 3
To c z całki, to stała, którą źle liczbę w pierwszym punkcie, czyż nie?
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} c( \frac{x^3}{3} + \frac{24x^2}{2} +150x) \rightarrow c\int_{0}^{1} ( \frac{x^3}{3} +\frac{24x^2}{2}+150x)}\)
Poprawiłem nieco zapis, ale wynik się nie zmienił. Pod iksa podstawiam liczbę 1. słusznie?
Ad. 2
Drugie dzięki Tobie właśnie zrozumiałem : )
Ad. 3
To c z całki, to stała, którą źle liczbę w pierwszym punkcie, czyż nie?
-
Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
Znaleźć stałą oraz moment zwykły.
1. Już lepiej .
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}c(x^2+24x+150)dx = c\cdot \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{24x^2}{2} +150x\right]^1_0 = \\c\cdot(\frac{1^3}{3} + \frac{24\cdot 1^2}{2} +150\cdot 1 - (\frac{0^3}{3} + \frac{24\cdot 0^2}{2} +150\cdot 0)) = c\cdot( \frac{1}{3} + 12 + 150) =1 \Longleftrightarrow c= \frac{3}{487}}\)
3. Nie. Kolizja oznaczeń . Oznaczmy przez q.
\(\displaystyle{ \int_{0}^{q} \frac{3}{487} (x^2+24x+150)dx = \frac{3}{487}(\frac{q^3}{3} + \frac{24q^2}{2} +150q)=0.15}\)
Pozostaje rozwiązać równanie trzeciego stopnia.
Czym jest ta całka od 0 do q?
Jest to prawdopodobieństwo tego, że losując liczby z przedziału (0,1) wg. podanego rozkładu otrzymamy liczbę z przedziału (0,q). Tutaj \(\displaystyle{ q \approx 0.16027}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}c(x^2+24x+150)dx = c\cdot \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{24x^2}{2} +150x\right]^1_0 = \\c\cdot(\frac{1^3}{3} + \frac{24\cdot 1^2}{2} +150\cdot 1 - (\frac{0^3}{3} + \frac{24\cdot 0^2}{2} +150\cdot 0)) = c\cdot( \frac{1}{3} + 12 + 150) =1 \Longleftrightarrow c= \frac{3}{487}}\)
3. Nie. Kolizja oznaczeń . Oznaczmy przez q.
\(\displaystyle{ \int_{0}^{q} \frac{3}{487} (x^2+24x+150)dx = \frac{3}{487}(\frac{q^3}{3} + \frac{24q^2}{2} +150q)=0.15}\)
Pozostaje rozwiązać równanie trzeciego stopnia.
Czym jest ta całka od 0 do q?
Jest to prawdopodobieństwo tego, że losując liczby z przedziału (0,1) wg. podanego rozkładu otrzymamy liczbę z przedziału (0,q). Tutaj \(\displaystyle{ q \approx 0.16027}\)
Znaleźć stałą oraz moment zwykły.
Jesteś wielki
najlepsze, że jak policzyłem to po godzince przerwy i wyszło mi tak jak Tobie. Nie wiem jak wtedy mogłem inaczej policzyć
Czuję jak chłonę wiedze dzięki Tobie
Jak będziesz gdzieś startował w wyborach, daj znać, zagłosuję na Ciebie! Należy Ci się odpoczynek i mnóstwo kasy
Dzięki.-- 31 paź 2010, o 20:14 --mam jeszcze pytanie co do momentu centralnego.
\(\displaystyle{ E((X-E(X))^i)= \int_{0}^{1} (x-(E(X))^i\cdot f(x) dx}\)
umie ktoś to bardziej szczegółowo rozwinąć?
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} (x-(E(X))^i\cdot f(x)= c\int_{0}^{1} (x-(E(X))^i (x^2+24x+150)}\)
i o ile wiem że dla \(\displaystyle{ \mu_{2}=(\frac{x^{2}}{2}- ??)^{2} \cdot (\frac{x^{3}}{3}+\frac{24x^{2}}{2}+\frac{150x}{1})}}\)
to czym zastąpić te ??
najlepsze, że jak policzyłem to po godzince przerwy i wyszło mi tak jak Tobie. Nie wiem jak wtedy mogłem inaczej policzyć
Czuję jak chłonę wiedze dzięki Tobie
Jak będziesz gdzieś startował w wyborach, daj znać, zagłosuję na Ciebie! Należy Ci się odpoczynek i mnóstwo kasy
Dzięki.-- 31 paź 2010, o 20:14 --mam jeszcze pytanie co do momentu centralnego.
\(\displaystyle{ E((X-E(X))^i)= \int_{0}^{1} (x-(E(X))^i\cdot f(x) dx}\)
umie ktoś to bardziej szczegółowo rozwinąć?
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} (x-(E(X))^i\cdot f(x)= c\int_{0}^{1} (x-(E(X))^i (x^2+24x+150)}\)
i o ile wiem że dla \(\displaystyle{ \mu_{2}=(\frac{x^{2}}{2}- ??)^{2} \cdot (\frac{x^{3}}{3}+\frac{24x^{2}}{2}+\frac{150x}{1})}}\)
to czym zastąpić te ??