Treść zadania:
W sakiewce znajduje się 50 monet, których jedna ma po obu stronach orły, pozostałe zaś są prawidłowe. W wyniku pięciu rzutów losowo wybraną monetą otrzymaliśmy pięć orłów. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowano monetę z orłami po obu stronach.
Koniec treści zadania.
Nie do końca jestem pewien, czego wymaga to zadanie.
"Niezależna" szansa na wylosowanie monety z orłami po obu stronach, to 1/50, ponieważ monet jest w sumie 50.
Jeżeli wybrana zostanie moneta prawidłowa, to pięciokrotne wylosowanie reszki równa się:
(ze schematu Bernoulliego)
n=5
k=5
p=1/2
q=1/2
Wynik prawdopodobieństwa na pięciokrotne wylosowanie orłów zwykłą monetą, równa się 1/32.
Zakładając, że jest to zdarzenie warunkowe i warunkiem jest wylosowanie 5 orłów, to mamy dwie opcje:
A) Wylosowano monetę z orłami (P=1/50) po obu stronach i siłą rzeczy 5 orłów (P=1) ---> 1/50 * 1 = 1/50 = P(A) = 0,02
B) Wylosowano zwykłą monetę (49/50) i wylosowano orły 5 razy (P=1/32) ---> 49/50 * 1/32 = 49/1600 = P(B) = (około) 0,031
Zakładając wylosowanie 5 orłów jako konieczność i porównując do siebie TYLKO zdarzenie A) i B) oraz wyniki P(A) i P(B), możemy wnioskować, ze szansa na wylosowanie 5 orłów za pomocą:
(Zakładam, że suma TYLKO MOICH DWÓCH ZDARZEŃ P(A) i P(B) = 0,051, może to trochę dziwne złożenie ale dzięki temu łatwiej je mi porównać)
- wylosowania najpierw orła a później 5 orłów to 0,02/0,051 co daje 0,3922..., czyli mamy około 39% szans na to, że będzie to właśnie TO zdarzenie z tych dwóch zdarzeń
- wylosowanie monety zwykłej i później wyrzucenie 5 orłów z rzędu to 0,031/0,051 daje 0,6078..., około 61% szans na to, że będzie to właśnie TO zdarzenie z tych dwóch zdarzeń
Czy zadanie jest prawidłowo rozwiązane?
Co mogę jeszcze zrobić z tym zadaniem???
Pozdrawiam,
Paweł
Nie wiem co dalej... 50 monet w tym 1 z podwójnym orłem
-
mat_61
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Nie wiem co dalej... 50 monet w tym 1 z podwójnym orłem
Wszystko jest OK.
Rozumowanie jak najbardziej poprawne i odpowiadające prawdopodobieństwu całkowitemu oraz wzorowi Bayes'a.
P-stwo całkowite:
\(\displaystyle{ P(A)=P(A/B_{1}) \cdot P(B_{1})+P(A/B_{2}) \cdot P(B_{2})=...}\)
\(\displaystyle{ P(A)}\) - p-stwo wyrzucenia 5 orłów
\(\displaystyle{ P(A/B_{1})}\) - p-stwo wyrzucenia 5 orłów pod warunkiem rzucania dobrą monetą
\(\displaystyle{ P(B_{1})}\) - p-stwo wylosowania dobrej monety
\(\displaystyle{ P(A/B_{2})}\) - p-stwo wyrzucenia 5 orłów pod warunkiem rzucania złą monetą
\(\displaystyle{ P(B_{2})}\) - p-stwo wylosowania złej monety
Wzór Bayes'a:
\(\displaystyle{ P(B_{2}/A)= \frac{P(A/B_{2})}{P(A)}}\)
\(\displaystyle{ P(B_{2}/A)}\) - p-stwo wylosowania złej monety pod warunkiem, że wyrzucono orła
Rozumowanie jak najbardziej poprawne i odpowiadające prawdopodobieństwu całkowitemu oraz wzorowi Bayes'a.
P-stwo całkowite:
\(\displaystyle{ P(A)=P(A/B_{1}) \cdot P(B_{1})+P(A/B_{2}) \cdot P(B_{2})=...}\)
\(\displaystyle{ P(A)}\) - p-stwo wyrzucenia 5 orłów
\(\displaystyle{ P(A/B_{1})}\) - p-stwo wyrzucenia 5 orłów pod warunkiem rzucania dobrą monetą
\(\displaystyle{ P(B_{1})}\) - p-stwo wylosowania dobrej monety
\(\displaystyle{ P(A/B_{2})}\) - p-stwo wyrzucenia 5 orłów pod warunkiem rzucania złą monetą
\(\displaystyle{ P(B_{2})}\) - p-stwo wylosowania złej monety
Wzór Bayes'a:
\(\displaystyle{ P(B_{2}/A)= \frac{P(A/B_{2})}{P(A)}}\)
\(\displaystyle{ P(B_{2}/A)}\) - p-stwo wylosowania złej monety pod warunkiem, że wyrzucono orła