ze zbioru A...

[dzidziuniaa]

Ze zbioru a={1,2,3,...,40} losujemy dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich dwóch liczb, których iloczyn
a) jest podzielny przez 4;
b) przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.
Wiadomo że liczymy \(\displaystyle{ {40 \choose 2}}\). Jeśli chodzi o podpunkt a) czy jest inna możliwość niż wyliczanie na piechotę że z cyfrą jeden takich liczb jest {(1,4)(1,8)(1,12)} itd... i tak dla każdej liczby...

[mat_61]

Wskazówka:

a)
Podziel ten zbiór liczb na 4 podzbiory:

A1 - liczby nieparzyste
A2 - liczby parzyste podzielne przez 2 i niepodzielne przez 4
A3 - liczby parzyste podzielne przez 4

Z jakich podzbiorów muszą pochodzić te dwie wylosowane liczby, aby ich iloczyn był podzielny przez 4?

[dzidziuniaa]

dla nie parzystych sposób jest 200?
dla A2 zaczęła wypisywać z 2 może być 19 liczb (2,4)(2,6)(2,8) (bo bez 2,2 bo nie mogą się powtarzać?) i to wyszło 19, dalej dla 6 to muszę zakładać takie liczby żeby się nie powtarzały tzn już nie może być (6,2) tylko np. (6,4) które również będzie powtarzać się w A3 jako (4,6)? Mam nadzieje, że rozumiesz co miałam na myśli, i jesteś w stanie udzielić odpowiedzi

[mat_61]

Zgodnie ze wskazówką miałaś na podzbiory podzielić nie zbiór wyników losowania, tylko zbiór A, czyli ten:

\(\displaystyle{ A=\left\{ 1;2;3;4;5;...;40\right\}}\)

Zauważ, że wypisywanie wszystkich 780 możliwych par liczb, to jednak byłoby trochę karkołomne przedsięwzięcie

Uwaga:
Jeżeli zapisujesz zbiór dwóch liczb (a nie ciąg) to oznaczaj go tak:

\(\displaystyle{ \left\{ 2;6\right\}}\)

bo taki zapis \(\displaystyle{ \left( 2;6\right)}\) oznacza ciąg (czyli uporządkowany zbiór w którym liczy się kolejność elementów)

[dzidziuniaa]

A1=20
A2=10
A3=10
\(\displaystyle{ |\Omega|=C ^{2} _{40}=780}\)
Możemy utworzyć A1, A2 lub A2 i A3
A1*A2=200
A2*A3=100
Razem 300
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{300}{780}}\)
a w odp. jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
Czy ja jestem niewyuczalna...

[mat_61]

Ty miałaś wypisać te zbiory. Powinno to wyglądać tak:

\(\displaystyle{ A1=\left\{ 1;3;5;7;...;39\right\}}\)

\(\displaystyle{ A2=...}\)

\(\displaystyle{ A3=...}\)

Ale załóżmy, że masz je w głowie. Ilość elementów w każdym zbiorze masz dobrze.

I teraz odpowiedz sobie na pytania:

- jeżeli pomnożę dwie liczby ze zbioru A1, to wynik będzie podzielny przez 4?
- jeżeli pomnożę dwie liczby: jedną ze zbioru A1 i jedną ze zbioru A2, to wynik będzie podzielny przez 4?
itd.

Teraz w obliczeniach musisz uwzględnić te przypadki dla których odpowiedź była: TAK.

Ty zapisałaś np. iloczyn ilości elementów zbioru A1 przez ilość elementów zbioru A2. W wyniku masz ilość wszystkich możliwych par liczb dla tych zbiorów, ale:

- czy iloczyn liczby nieparzystej (np. 3) oraz liczby parzystej podzielnej przez 2 ale niepodzielnej przez 4 (np. 10) jest podzielny przez 4?
- a co z pozostałymi kombinacjami, np. jeden element z A1 i jeden element z A3, dwa elementy z A1, dwa elementy z A2 itd.

Możemy utworzyć A1, A2 lub A2 i A3

A dlaczego tylko takie?

Wszystkie możliwe warianty to: A1-A1 A1-A2 A1-A3 A2-A2 A2-A3 A3-A3