Prawdopodobieństwo - urodziny

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
Lonc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 298
Rejestracja: 19 sty 2009, o 16:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Jarosław
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 43 razy

Prawdopodobieństwo - urodziny

Post autor: Lonc »

Ile wynosi prawdopodobieństwo znalezienia wśród 99 maturzystów piętnastu, którzy urodzili się tego samego dnia tygodnia?

Proszę o sprawdzenie
Maturzystów mamy 99, czyli 15 możemy wybrać na \(\displaystyle{ |\Omega |= {99 \choose 15}}\) sposobów.
Jeśli prawdopodobieństwo urodzenia się w każdym dniu jest równe, to każdego dnia urodzonych jest \(\displaystyle{ \frac{99}{7}}\) maturzystów => mamy 6 dni po 14 maturzystów i 1 dzień w którym urodziło się 15 maturzystów. Czyli możemy wybrać na 1 sposób taką 15, aby wszyscy byli urodzeni tego samego dnia.

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{ {99 \choose 15}} = \frac{15! \cdot 84!}{99!} = \frac{15!}{85 \cdot 86 \cdot ... \cdot 99} \approx 0}\)

Czy to jest dobrze rozwiązane?
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Prawdopodobieństwo - urodziny

Post autor: mat_61 »

Nie, to nie jest dobre rozwiązanie. Jest dokładnie odwrotnie tzn. wśród 99 maturzystów musi być co najmniej piętnastu urodzonych tego samego dnia tygodnia.

Wyobraź sobie, że masz 7 sal do których wysyłasz uczniów urodzonych w danym dniu tygodniu. W "najmniej korzystnej" sytuacji (tzn. takiej, że w żadnej sali nie będzie 15 uczniów) będzie tak, że w każdej z 7 sal będzie po 14 uczniów, czyli razem będzie ich 98. Wówczas 99 uczeń musi trafić do jakiejś sali i tym samym w co najmniej jednej z nich musi być minimum 15 uczniów.

Poczytaj sobie temat: Zasada szufladkowa Dirichleta:
Awatar użytkownika
Lonc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 298
Rejestracja: 19 sty 2009, o 16:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Jarosław
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 43 razy

Prawdopodobieństwo - urodziny

Post autor: Lonc »

Czyli z tego by wynikało, że wybieramy 15 z 99 uczniów, a co najmniej 15 urodziło się w tym samym dniu tygodnia (15-99?). To teraz nie wiem jak to dalej rozwiązać, bo losując przypadkowe osoby jeśli 99 nie jest urodzone w tym samym dniu to zawsze istnieje jakiś margines, że możemy wylosować co najmniej 1 urodzoną w innym dniu?
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Prawdopodobieństwo - urodziny

Post autor: mat_61 »

Ale ty nic nie wybierasz. Przecież w zadaniu nie ma mowy o wybieraniu/losowaniu.

W zadaniu nie jest napisane, że losujesz piętnastu uczniów i masz obliczyć p-stwo, że wśród nich będą dwie urodzone w tym samym dniu. Wtedy oczywiście p-stwo nie byłoby równe 1.

Ty masz całkiem inną sytuację. Masz 99 uczniów i masz obliczyć z jakim prawdopodobieństwem uda Ci się znaleźć wśród wszystkich uczniów, 15-tu urodzonych w tym samym dniu tygodnia. Z tego co Ci napisałem to wśród tych 99 musi być co najmniej jedna grupa minimum 15-osobowa uczniów urodzonych w tym samym dniu.

Mówiąc inaczej, gdybyśmy chcieli mówić o wybieraniu/losowaniu, to zadanie byłoby takie:

Jakie jest p-stwo, że wśród losowo wybranych (spośród dowolnej liczby) 99 uczniów jest co najmniej 15-tu urodzonych w tym samym dniu tygodnia.
Awatar użytkownika
Lonc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 298
Rejestracja: 19 sty 2009, o 16:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Jarosław
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 43 razy

Prawdopodobieństwo - urodziny

Post autor: Lonc »

Aha, teraz rozumiem Czyli jeśli zawsze mamy co najmniej 15 urodzonych w tym samym dniu, to za każdym razem ich mamy, czyli P=1 , tak?
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Prawdopodobieństwo - urodziny

Post autor: mat_61 »

Właśnie o to chodzi, ale raczej należałoby napisać tak:

Jeśli wśród 99 uczniów zawsze musi być co najmniej 15 urodzonych w tym samym dniu, to za każdym razem uda się nam taką 15-tkę wybrać, czyli P(A)=1.
ODPOWIEDZ