Oblicz P(A-B)

[volcik15]

Zad 1
Wiadomo że \(\displaystyle{ P(A \cap B^{'})=P(B \cap A^{'})}\) i \(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A^{'} \cap B^{'})=0,3}\) Oblicz \(\displaystyle{ P(A-B)}\)

Zad 2
Oblicz \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) wiedząc że \(\displaystyle{ P(A^{'})=P(B)}\) oraz \(\displaystyle{ P(A \cup B)=0,75}\)

[mat_61]

Wskazówka:

2)
\(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A)+P(B)-P(A \cup B)}\)

\(\displaystyle{ P(A)+P(A')=1}\)

[lisekpk]

mat_61, chyba zły znak dałeś nie \(\displaystyle{ \cap}\) lecz \(\displaystyle{ \cup}\)
\(\displaystyle{ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}\)

[mat_61]

Faktycznie, już poprawiam.

[volcik15]

Hmm. A jakoś jaśniej? Bo dużo niestety mi to nie mówi.

[mat_61]

Z drugiej zależności wyznacz P(A) i wstaw do pierwszego.

1)
\(\displaystyle{ P(A \setminus B)+P(B \setminus A)+P(A \cap B)+P(A' \cap B')=P(\Omega)}\)

W powyższym równaniu wykorzystaj to, że:

\(\displaystyle{ P(A \setminus B)=P(A \cap B')}\)

\(\displaystyle{ P(B \setminus A)=P(B \cap A')}\)

[volcik15]

Hmm. Pomyślałem chwile nad tymi zadaniami i wyszlo mi takie coś.

Zad 1.
\(\displaystyle{ \begin{cases}P(A)=P(A \cap B^{'})+P(A \cap B) \\ P(B)=P(A \cap B^{'})+P(A \cap B) \end{cases}}\)

Z tego wynika \(\displaystyle{ P(A)-P(B)=0 \Rightarrow P(A)=P(B)}\)

\(\displaystyle{ P(A \cup B)=?}\)
\(\displaystyle{ P(A \cup B)=1-P(A^{'} \cap B^{'}) \Rightarrow P(A \cup B)=0,7}\)


\(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(A)-0,3 \Rightarrow 0,7=2P(A)-0,3 \Rightarrow P(A)=0,5}\)

\(\displaystyle{ P(A-B)=P(A)-P(A \cap B) \Rightarrow P(A-B)=0,5-0,3=0,2}\)


Zad 2
\(\displaystyle{ P(A \cap B)=?}\)
\(\displaystyle{ P(A \cup B)=0,75}\)
\(\displaystyle{ P(A^{'})=P(B)}\)
\(\displaystyle{ P(A^{'})=1-P(A)}\)

\(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \Rightarrow P(A \cup B)=P(A)+1-P(A)-P(A \cap B) \Rightarrow 0,75=1-P(A \cap B)}\)

\(\displaystyle{ P(A \cap B)=0,25}\)

Czy wszystko jest dobrze?

[mat_61]

Jest OK.

Różnicę zbiorów należałoby zapisać jako \(\displaystyle{ (A \setminus B) \ a \ nie \ (A-B)}\)

Zakładam, że do zależności:

\(\displaystyle{ P(B)=P(B \cap A')+P(A \cap B)}\)

wstawiłeś z treści zadania:

\(\displaystyle{ P(A \cap B')=P(B \cap A')}\)

i stąd drugie równanie w układzie równań.

[volcik15]

Tak tak. Hmm w treście zadania miałem właśnie zapisane przez \(\displaystyle{ (A-B)}\) Ale mniejsza o to ważne że zrozumiałem