1. Znaleźć rozkład warunkowy \(\displaystyle{ \frac{X + Y}{2}|X}\) , jeśli \(\displaystyle{ X, Y}\) - niezależne zmienne losowe o rozkładzie jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\)
2. Znaleźć rozkład warunkowy \(\displaystyle{ X|X + Y}\) , jeśli
a) \(\displaystyle{ X, Y}\) - niezależne zmienne losowe o rozkładzie \(\displaystyle{ N(0,\sigma ^{2})}\)
b) \(\displaystyle{ X, Y}\) - niezależne zmienne losowe o rozkładach kolejno \(\displaystyle{ Poiss(\lambda ), Poiss(\mu)}\)
Proszę o pomoc
rozkład warunkowy
-
drunkard
- Użytkownik
- Posty: 204
- Rejestracja: 6 kwie 2005, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 23 razy
rozkład warunkowy
1. Oznaczmy \(\displaystyle{ Z=\frac{X+Y}{2}}\)
Szukamy:
\(\displaystyle{ P(Z<z | X=x) = P(\frac{X+Y}{2}<z | X=x) = P(Y<2z-X | X=x)}\)
A skoro Y ma rozkład jednostajny na [0,1], więc:
\(\displaystyle{ P(Z<z | X=x)=\begin{cases}0 \ dla \ z\leqslant \frac{x}{2}\\1 \ dla \ z>\frac{1}{2}+\frac{x}{2}\\2z-x \ dla \ pozostałych \ z \end{cases}}\)
Szukamy:
\(\displaystyle{ P(Z<z | X=x) = P(\frac{X+Y}{2}<z | X=x) = P(Y<2z-X | X=x)}\)
A skoro Y ma rozkład jednostajny na [0,1], więc:
\(\displaystyle{ P(Z<z | X=x)=\begin{cases}0 \ dla \ z\leqslant \frac{x}{2}\\1 \ dla \ z>\frac{1}{2}+\frac{x}{2}\\2z-x \ dla \ pozostałych \ z \end{cases}}\)