kontrola jakości jabłek

[lisekpk]

W czasie kontroli jakości jabłek stwierdzono, że na każde 200 sztuk średnio 4 nie spełnią norm jakościowych. Oblicz P(A), że wśród losowo wybranych 5 jabłek:
a) wszystkie nie będą spełniać norm
b) dokładnie dwa nie spełniają norm
c) co najmniej jedno nie spełnia norm

Nie wiem czy tu to 200 jabłek potraktować jako zbiór zdarzeń elementarnych czy jako jego cześć...
no napisane jest, że "na każde..."
No ale dobra,traktuje to jako zbiór.

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = {200 \choose 5}}\)

a)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} = 0}\)
Bo mamy tylko 4 niespełniające norm a wybieramy 5.

b)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} = {4 \choose 2}{196 \choose 3}}\)

c)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} = 4{196 \choose 1}}\)

Dobrze zrozumiałem??

[mat_61]

Nie.
Skoro jest napisane, że na każde 200 sztuk ... , to nie możesz założyć, że jabłek jest 200. Może ich być 600 albo 1600. Zauważ, że otrzymałeś P(A)=0 a gdybyś przyjął 2000 jabłek, to wynik byłby inny.

Te proporcje są podane żeby wyznaczyć prawdopodobieństwo wylosowania dobrego lub złego jabłka przy jednokrotnym losowaniu. Dalej skorzystaj ze schematu Bernouliego.

c) najlepiej skorzystać ze zdarzenia przeciwnego.

[lisekpk]

ten schemat jest dla mnie "obcy" ;p
nie miałem z nim nigdy do czynienia ;D
czy w jakiś inny sposób można rozwiązać to zadanie??

[mat_61]

ten schemat jest dla mnie "obcy" ;p
nie miałem z nim nigdy do czynienia ;D

To niedobrze Może warto go poznać (a nie jest to coś skomplikowanego)

czy w jakiś inny sposób można rozwiązać to zadanie??

Można. Np. za pomocą drzewka (niezbyt ciekawy sposób rozwiązania). Albo za pomocą mnożenia kolejnych prawdopodobieństw (zdarzenia są niezależne). Np. dla a) pięć kolejno wylosowanych jabłek nie spełnia norm, czyli:

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{50} \cdot \frac{1}{50} \cdot \frac{1}{50} \cdot \frac{1}{50} \cdot \frac{1}{50}}\)

b) pamiętaj, że tutaj te dwa niedobre mogą być wybrane jako pierwsze i drugie, pierwsze i trzecie itd.

[lisekpk]

b)

\(\displaystyle{ P(A) = 5 \cdot \frac{1}{50} \cdot \frac{1}{50} \cdot cos jeszcze??}\)

[mat_61]

Niestety nie tak.

Skoro dwa nie spełniają normy to znaczy, że trzy spełniają tą normę. Prawdopodobieństwo spełnienia normy przez losowo wybrane jabłko wynosi \(\displaystyle{ \frac{49}{50}}\). I teraz wylosowanie np. jako dwóch pierwszych złych jabłek i trzech kolejnych jako dobrych wynosi:

\(\displaystyle{ \frac{1}{50} \cdot \frac{1}{50} \cdot \frac{49}{50} \cdot \frac{49}{50} \cdot \frac{49}{50}}\)

Tak jak Ci napisałem te dwa złe jabłka mogą być wylosowane jako pierwsze i trzecie, pierwsze i czwarte itd. Oczywiście zawsze iloczyn będzie taki sam, bo będzie pięć takich samych czynników tylko zapisanych w innej kolejności (a mnożenie jest przemienne): dwa czynniki \(\displaystyle{ \frac{1}{50}}\) oraz trzy czynniki \(\displaystyle{ \frac{49}{50}}\). Czyli całkowite prawdopodobieństwo to:

\(\displaystyle{ .... \cdot \left( \frac{1}{50} \right)^{2} \cdot \left( \frac{49}{50} \right)^{3}}\)

W miejsce kropek masz wstawić taką liczbę ile jest możliwości rozmieszczenia dwóch liczb \(\displaystyle{ \frac{1}{50}}\) na dwóch z pięciu wybranych miejsc.

To co otrzymasz po wstawieniu tej brakującej liczby jest właśnie wzorem związanym ze schematem Bernouliego, tylko "uzyskanym na piechotę".

[lisekpk]

no w sumie miałeś racje, schematem Bernoulliego jest strasznie łatwy
wczoraj sobie już obliczyłem wszystko, ale dzięki wielkie, pozdrawiam