drużyny piłkarskie

lisekpk · Post autor: **lisekpk** » 13 paź 2010, o 22:36

Treść -.-
Dla zmniejszenia ilości gier podzielono 16 drużyn na dwie równe grupy. ( w których rogrywki odbywają się jednocześnie) . Oblicz P(A), że dwie najsilniejsze drużyny znajdą się w a) tej samej grupie, b) innych grupach.

Czyli 16 drużyn dziele na dwie grupy, po 8 drużyn.
-------16------
----8-------8-----

a) dwie najsilniejsze w tej samej grupie:

b) w dwóch różnych grupach:

No i dalej już tylko pod wzór P(A).
Dobrze??

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 13 paź 2010, o 23:33

Nie.

Na początek zakładamy, że te grupy są rozróżnialne (jest to istotne dla podziału na dwie równoliczne grupy).

Skąd masz tak obliczoną moc zbioru Omega (czyżbyśmy wybierali dwie drużyny z 16? A co z resztą?)

Podziału dokonujemy w ten sposób, że wybieramy 8 drużyn do grupy A a wówczas pozostałe drużyny tworzą grupę B.

Teraz oznaczamy sobie dwie najsilniejsze drużyny Jako D1 oraz D2. Jeżeli mają być one w jednej grupie to pozostałe drużyny (14) musimy podzielić na dwie grupy (8 osobową i 6 osobową). Jeżeli mają one być w dwóch różnych grupach to pozostałe drużyny dzielimy na dwie 7-osobowe grupy i do każdej z nich przydzielamy jedną z drużyn D1; D2

lisekpk · Post autor: **lisekpk** » 14 paź 2010, o 11:11

Ehh coś nie mogę dalej tego zrozumieć ;/

Myślałem, że dzieli mi 16 drużyn na 2 grupy :/

No nie wiem, czy i teraz dobrze zrozumiałem:

\(\displaystyle{ {\Omega} = [[a,b]:a,b \in [1,2,3,...,16]]}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = {16\choose 8}}\) ??
Bo nie ważna jest kolejność z jaką powybieramy te drużyny...?
Myślałem, że moze tak:
grupa A: 16 * 17 * ... * 8
grupa B: 8!
No ale przecież kolejność nie gra roli. (chyba?) ;D

a)
-----------16---------
-------2--------14---------
--------------6-----8---

\(\displaystyle{ A = 2 * {14\choose 6} * {14\choose 8}}\)
Nie no coś mi to nie za bardzo wygląda :/

b)

\(\displaystyle{ A = 1 * {14\choose 7} * 1 * {14\choose 7}}\)

Eh no nie wiem na prawdę jak to zrobić ;/

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 14 paź 2010, o 12:36

Coś mocno namieszałeś.

Dlaczego wg Ciebie \(\displaystyle{ {16 \choose 2}}\) Dzieli 16 drużyn na 2 grupy? Przecież to jest wybór 2 elementów spośród 16. I nic więcej. A my przecież nie mamy wybrać 2 drużyn, tylko podzielić te drużyny na dwie rozróżnialne części.

Proponuję żebyś zapomniał o tym co napisałeś wyżej i jeszcze raz uważnie przeanalizował zadanie.

Zastanów się jak taki podział wyglądałby w praktyce. Są mistrzostwa świata w piłce siatkowej w 2012 roku (w Polsce) i do półfinału dostało się 16 drużyn. Mają one zostać podzielone na dwie grupy:

- grupa A grająca w Gdańsku
- grupa B grająca w Katowicach

Pojawia się Sierotka Marysia i losuje 8 drużyn do grupy A (oczywiście kolejność losowania jest bez znaczenia, bo istotą losowania jest to kto będzie w tej grupie. Jeżeli Polska chce być w grupie A to ważne, żeby była wśród tych ośmiu wylosowanych. Natomiast czy będzie wylosowana jako pierwsza, piąta czy ósma jest bez znaczenia). Wniosek z tego jest taki, że podział na dwie grupy polega na wylosowaniu 8 drużyn do jednej z grup (pozostałe tworzą drugą grupę). Ile jest możliwych wyników takiego losowania?

Teraz rozważmy wariant, że dwie najlepsze drużyny (Polska i Brazylia) będą w tej samej grupie. Jak wówczas mogłoby wyglądać losowanie? Tym razem Sierotka Marysia najpierw losuje w której grupie zagrają Polska i Brazylia (bo nie jest bez znaczenia czy obydwie będą w Gdańsku czy w Katowicach – dlatego też na początku zaznaczyłem, że grupy są rozróżnialne). Ile jest możliwych wyników tego losowania? W drugim etapie Sierotka Marysia losuje albo 6 drużyn z 14 które dołączą do tych dwóch najlepszych, albo 8 drużyn z 14 które będą w przeciwnej grupie (oczywiście obydwa sposoby liczenia są równoważne). Ile jest możliwych wyników tego losowania?

I na koniec ostatni wariant: dwie najlepsze drużyny będą w różnych grupach. Teraz Sierotka Marysia losuje z koszyka w którym są Polska i Brazylia drużynę do grupy A (druga automatycznie zagra w grupie B). Ile jest możliwych wyników tego losowania? W drugim etapie losuje 7 drużyn z 14 które dołączą do Polski (pozostałe zagrają oczywiście z Brazylią). Ile tym razem jest możliwych wyników losowania?

lisekpk · Post autor: **lisekpk** » 14 paź 2010, o 15:05

No to wybieram

\(\displaystyle{ {16\choose 8}}\) do jednej grupy i \(\displaystyle{ {16\choose 8}}\) do drugiej grupy

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = {16\choose 8} * {16\choose 8} = 2 {16\choose 8}}\)

Ale potem myślę sobie, że przecież jak wybiorę te 8 z 16 to zostanie mi 8.

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = {16\choose 8} * 8}\)
Heh i znowu mam mętlik bo nie wiem które jest dobre ;D
No przystaje przy tym drugim, zważając na Twoją wskazówkę.

a)
Losuje najpierw dwie najlepsze drużyny:

\(\displaystyle{ {16\choose 2}}\) ( tutaj też myślałem tak, by dodać tu alternatywę czyli + \(\displaystyle{ {16\choose 2}}\) bo przecież Polaka i Brazylia mogą być albo w tej grupie albo w drugiej)
więc ostatecznie pozostaję przy tym:

\(\displaystyle{ 2{16\choose 2}}\)

Potem 6 drużyn pozostałych by uzupełnić grupę:

\(\displaystyle{ {14\choose 6}}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} = 2{16\choose 2}{14\choose 6}}\)

b)
Teraz Polska i Brazylia muszą trafić do osobnych grup.
Losuję do grupy A:
najpierw dam Polskę \(\displaystyle{ {2\choose 1}}\)

a następnie 7 drużyn z 14 ( bo Brazylii tu już nie liczę, bo musi być w grupie B)

\(\displaystyle{ {14\choose 7}}\)

także grupa A wygląda następująco:

\(\displaystyle{ {2\choose 1}{14\choose 7}}\)

Losuję grupę B:
Tu została mi już jedynie Brazylia a więc 1
a reszta drużyn to 7
gruba B wygląda tak:
i teraz pytanie, czy będzie 7 + 1 czy 7 * 1
ale mam tu mieć koniunkcję więc *
ale po prostu dam do grupy B resztę drużyn razem z Brazylią wiec 8

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} = {2\choose 1}{14\choose 7} 8}\)

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 14 paź 2010, o 16:19

lisekpk pisze:No to wybieram

\(\displaystyle{ {16\choose 8}}\) do jednej grupy i \(\displaystyle{ {16\choose 8}}\) do drugiej grupy

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = {16\choose 8} * {16\choose 8} = 2 {16\choose 8}}\)

Ale potem myślę sobie, że przecież jak wybiorę te 8 z 16 to zostanie mi 8.

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = {16\choose 8} * 8}\)
Heh i znowu mam mętlik bo nie wiem które jest dobre ;D
No przystaje przy tym drugim, zważając na Twoją wskazówkę.

No rzeczywiście masz niezły mętlik
1) Jak wybierzesz 8 drużyn do jednej grupy to spośród czego masz wybierać te 8 drużyn do drugiej?
2) Skoro zostało Ci, jak później napisałeś, osiem drużyn, to dlaczego warianty wyboru pierwszej grupy mnożysz przez 8? Przecież ta pozostała ósemka musi być w drugiej grupie.
3) Zastanów się jak to się ma do mojej wskazówki:
Wniosek z tego jest taki, że podział na dwie grupy polega na wylosowaniu 8 drużyn do jednej z grup (pozostałe tworzą drugą grupę)

lisekpk pisze:a)
Losuje najpierw dwie najlepsze drużyny:

\(\displaystyle{ {16\choose 2}}\) ( tutaj też myślałem tak, by dodać tu alternatywę czyli + \(\displaystyle{ {16\choose 2}}\) bo przecież Polaka i Brazylia mogą być albo w tej grupie albo w drugiej)
więc ostatecznie pozostaję przy tym:

\(\displaystyle{ 2{16\choose 2}}\)

Potem 6 drużyn pozostałych by uzupełnić grupę:

\(\displaystyle{ {14\choose 6}}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} = 2{16\choose 2}{14\choose 6}}\)

Przecież najlepszych drużyn się nie losuje. Najlepsze drużyny już istnieją. Losujemy tylko grupę w której będą grały (A albo B). Ile jest możliwości tego losowania? Wszystkie istotne pytania w moich wskazówkach napisałem Ci grubym tekstem żebyś zwrócił na te fragmenty szczególną uwagę.

Wybór tych 6-ciu drużyn jest OK.

lisekpk pisze:b)
Teraz Polska i Brazylia muszą trafić do osobnych grup.
Losuję do grupy A:
najpierw dam Polskę \(\displaystyle{ {2\choose 1}}\)

a następnie 7 drużyn z 14 ( bo Brazylii tu już nie liczę, bo musi być w grupie B)

\(\displaystyle{ {14\choose 7}}\)

także grupa A wygląda następująco:

\(\displaystyle{ {2\choose 1}{14\choose 7}}\)

Losuję grupę B:
Tu została mi już jedynie Brazylia a więc 1
a reszta drużyn to 7
gruba B wygląda tak:
i teraz pytanie, czy będzie 7 + 1 czy 7 * 1
ale mam tu mieć koniunkcję więc *
ale po prostu dam do grupy B resztę drużyn razem z Brazylią wiec 8

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} = {2\choose 1}{14\choose 7} 8}\)

Nie możesz najpierw dać Polski do grupy A. Po prostu losujesz jedną drużynę spośród dwóch. Wyniki losowania mogą być dwa. Możliwy rezultat to: A-Polska B-Brazylia lub A-Brazylia B-Polska.

Dalej znowu robisz ten sam błąd. Jeżeli wybrałeś jedną z dwóch najlepszych drużyn + 7 pozostałych do grupy A, to już koniec wybierania. Przecież cała reszta "ląduje" automatycznie w grupie B.

Z tego co widzę, to masz problem ze zrozumieniem "mechanizmu" wg którego robi się obliczenia do tego typu zadań. Proponuję poćwiczyć na elementarnych przykładach, żeby nabrać wprawy w stosowaniu metody iloczynowej, w której mnożymy ilości możliwych elementarnych, niezależnych wyborów.

lisekpk · Post autor: **lisekpk** » 14 paź 2010, o 17:28

Hehe no bo widzisz, na lekcji szybko lecimy z tematami, w końcu wszystko się zbiera permutacje, kombinacje, wariacje i się zaczynam motać w tym.

Nie będę znowu robił całego zadania, bo to bez sensu by się w tym motać.

Grupa A:
Grupa B: 8

I teraz co będzie się składało na moc omegi?

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = {16\choose 8} + 8}\)

Edit:
aaa.. czyli, że Tobie chodzi o to?
moc to po prostu

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = {16\choose 8}}\)

bo wtedy już przecież jest podzielone na 2 grupy

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 14 paź 2010, o 17:38

TAK.
Właśnie chodzi o to, że jak wybierzesz 8 zespołów, to już dokonałeś podziału na dwie grupy.

lisekpk · Post autor: **lisekpk** » 14 paź 2010, o 18:23

Teraz rozważmy wariant, że dwie najlepsze
drużyny (Polska i Brazylia) będą w tej samej grupie. Jak wówczas mogłoby wyglądać losowanie? Tym razem Sierotka Marysia najpierw losuje w której grupie zagrają Polska i Brazylia (bo nie jest bez znaczenia czy obydwie będą w Gdańsku czy w Katowicach – dlatego też na początku zaznaczyłem, że grupy są rozróżnialne). Ile jest możliwych wyników tego losowania? W drugim etapie Sierotka Marysia losuje albo 6 drużyn z 14 które dołączą do tych dwóch najlepszych, albo 8 drużyn z 14 które będą w przeciwnej grupie (oczywiście obydwa sposoby liczenia są równoważne). Ile jest możliwych wyników tego losowania?

Przydział Polski i Brazylii do jednej grup można zrobić na \(\displaystyle{ 2}\) sposoby.
Bo można je przydzielić do grupy A lub grupy B.
Do tego dochodzi \(\displaystyle{ {14\choose 6}}\) a reszta tworzy kolejną grupę.

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} = 2{14\choose 6}}\)

Dobrą drogą idę? ;D

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 14 paź 2010, o 18:32

Jak najbardziej.

lisekpk · Post autor: **lisekpk** » 14 paź 2010, o 19:32

I na koniec ostatni wariant: dwie najlepsze drużyny będą w różnych grupach. Teraz Sierotka Marysia losuje z koszyka w którym są Polska i Brazylia drużynę do grupy A (druga automatycznie zagra w grupie B). Ile jest możliwych wyników tego losowania? W drugim etapie losuje 7 drużyn z 14 które dołączą do Polski (pozostałe zagrają oczywiście z Brazylią). Ile tym razem jest możliwych wyników losowania?

Polskę można przydzielić do grupy A na tylko 1 sposób.
Do grupy A jeszcze oddam \(\displaystyle{ {14}\choose {7}}\).
Reszta wraz z Brazylią będą w Grupie B.

moc \(\displaystyle{ A =}\) \(\displaystyle{ {14}\choose {7}}\)

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 14 paź 2010, o 19:39

Ale do grupy A można też przydzielić Brazylię. Mówiąc inaczej drużynę do grupy A losujemy i mamy dwa możliwe wyniki losowania, czyli:

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} = 2{14\choose 7}}\)

ewentualnie:

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} = {2 \choose 1} \cdot {14\choose 7}}\)

lisekpk · Post autor: **lisekpk** » 14 paź 2010, o 19:54

Ok, już wszystko rozumiem ;D
Dzięki wielkie