Prawdopodobieństwo i ułożenie ciągu

[pracowity]

Mam problem z rozwiązaniem tych zadań:
1)
Liczby \(\displaystyle{ 1,2,3,4,5,6,7}\) ustawione są losowo w ciąg. Oblicz prawdopodobieństwo, że w tym ciągu liczby \(\displaystyle{ 1,2,3,4}\) stoją obok siebie w kolejności rosnącej lub malejącej.
2)
Z cyfr \(\displaystyle{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\) wybrano 3 razy po jednej bez zwracania i ułożono w ciąg,
a) oblicz, że ułożony ciąg przedstawia liczbę trzycyfrową.
b) oblicz prawdopodobieństwo, że ułożony ciąg przedstawia liczbę trzycyfrową mniejszą od \(\displaystyle{ 500}\).

[mat_61]

Wskazówka:

1) Liczby \(\displaystyle{ 1, 2, 3, 4}\) "zwiąż" razem (na ile sposobów można to zrobić zgodnie z warunkami zadania) i potraktuj jako jeden element

2a) na pierwszym miejscu nie może być zero

2b) na pierwszym miejscu cyfra ze zbioru \(\displaystyle{ {1;2;3;4\}}\)

[pracowity]

Wskazówka:

1) Liczby \(\displaystyle{ 1, 2, 3, 4}\) "zwiąż" razem (na ile sposobów można to zrobić zgodnie z warunkami zadania) i potraktuj jako jeden element

2a) na pierwszym miejscu nie może być zero

2b) na pierwszym miejscu cyfra ze zbioru \(\displaystyle{ {1;2;3;4\}}\)

1)-na dwa sposoby, ale nadal nie rozumiem,
2a) to zero będzie zawsze w jednościach?
b)- rozpatrzę później

[mat_61]

1)-na dwa sposoby, ale nadal nie rozumiem

Teraz masz takie elementy:

{(1;2;3;4);5;6;7} LUB {(4;3;2;1);5;6;7}i masz je ustawić na wszystkie możliwe sposoby. W każdym "worku" (zbiorze) masz więc 4 elementy. Na ile sposobów można je uporządkować?

2a) to zero będzie zawsze w jednościach?

Może oczywiście tak być ale nie musi. Jest tylko warunek, że pierwszą wylosowaną cyfrą nie może być zero (bo wtedy nie będzie to liczba trzycyfrowa). Czyli pierwsza cyfra musi być wybrana spośród 9 (wszystkie oprócz zera), druga spośród 9 (dowolna oprócz wybranej za pierwszym razem), trzecia spośród 8 (dowolna oprócz dwóch wybranych wcześniej)

Oczywiście wszystkie wskazówki pokazują jak obliczyć moc konkretnych zbiorów, bo zakładam, że z obliczeniem mocy \(\displaystyle{ \Omega}\) nie będziesz miał problemu.

[pracowity]

{(4;3;2;1);5;6;7}

Przecież w takiej sytuacji nie będzie ciągu(albo mam braki w ciągach).

2a) myślę, że mi dobrze wyszło czyli \(\displaystyle{ 0,9}\)

[mat_61]

{(4;3;2;1);5;6;7}

Przecież w takiej sytuacji nie będzie ciągu(albo mam braki w ciągach).

Co to znaczy, że nie będzie ciągu(albo mam braki w ciągach)!?

Ciąg to uporządkowane elementy. Tutaj masz 4 takie elementy:

I: 4-3-2-1 (to jest element który musisz traktować jako "całość")
II: 5
III: 6
IV: 7

I teraz te 4 elementy możesz uporządkować na wiele sposobów, np. (4-3-2-1; 6; 5; 7) (4-3-2-1; 6; 7; 5) (7; 5; 4-3-2-1; 6) itd. W ten sposób spełniasz podany w zadaniu warunek, że 4-3-2-1 są zawsze obok siebie (masz też uwzględnić warunek, że obok siebie będą 1-2-3-4)

[pracowity]

I teraz te 4 elementy możesz uporządkować na wiele sposobów, np. (4-3-2-1; 6; 5; 7) (4-3-2-1; 6; 7; 5) (7; 5; 4-3-2-1; 6) itd. W ten sposób spełniasz podany w zadaniu warunek, że 4-3-2-1 są zawsze obok siebie (masz też uwzględnić warunek, że obok siebie będą 1-2-3-4)

Czyli moc \(\displaystyle{ A =4!*2}\), ostateczny wynik to \(\displaystyle{ \frac{1}{105}}\)?

Po prostu nie rozumiem zadania, np. że że te liczby ustawione są losowo- a wcześniej były w ciągu?

[mat_61]

Tak, to jest dobre rozwiązanie.

Po prostu nie rozumiem zadania, np. że że te liczby ustawione są losowo- a wcześniej były w ciągu?

To nie jest tak.

Na początku masz 7 cyfr. To jest zbiór (a nie ciąg). Tak jakbyś miał woreczek z karteczkami ponumerowanymi od 1 do 7. Doświadczenie w tym zadaniu polega na tym, że te karteczki ustawiamy obok siebie i wówczas tworzą one ciąg (w treści jest to opisane zwrotem: liczby 1,2,3,4,5,6,7 ustawione są losowo w ciąg - użyto tu wprawdzie formy bezosobowej czasu dokonanego, ale równie dobrze mogłoby być napisane: liczby 1,2,3,4,5,6,7 ustawiamy losowo w ciąg).

Ty masz obliczyć dwie wartości:

1) na ile różnych sposobów można te karteczki ułożyć w takim ciągu? Tą ilość możliwości można obliczyć jako permutację 7-elementową, czyli 7! (ta ilość bierze się stąd, że pierwszą cyfrę możesz wybrać na 7 sposobów, drugą na 6, trzecią na 5 itd.)

2) na ile różnych sposobów można ułożyć te karteczki tak, aby cyfry 1;2;3;4 były obok siebie (rosnąco lub malejąco)? Jak to obliczyć? Najprościej wyobrazić sobie, że karteczki 1; 2; 3; 4 zostały w tym woreczku sklejone ze sobą:

a) raz tak 1-2-3-4 (i wtedy losujemy kartki i układamy w ciąg w którym znajdzie się karteczka 1-2-3-4 i trzy pozostałe) - czyli losujemy 4 elementy układając z tych elementów ciąg.

b) drugi raz tak 4-3-2-1 (i wtedy losujemy kartki i układamy w ciąg w którym znajdzie się karteczka 4-3-2-1 i trzy pozostałe) - czyli losujemy 4 elementy układając z tych elementów ciąg.

Na koniec należy dodać wartości z punktów a) i b) ale ponieważ te wartości są takie same, czyli 4!, to zamiast \(\displaystyle{ 4!+4!}\) możemy zapisać \(\displaystyle{ 2 \cdot 4!}\)

Na koniec dzielimy wartość obliczoną w punkcie 2) (czyli ilość wszystkich możliwości utworzenia ciągu zgodnie z warunkami podanymi w zadaniu) przez wartość obliczoną w punkcie 1) (czyli ilość wszystkich możliwych do utworzenia ciągów) i otrzymujemy wartość prawdopodobieństwa.

Czy teraz jest to bardziej zrozumiałe?

[pracowity]

Tak, teraz już rozumiem. Tylko mam jedno spostrzeżenie: 2,5,6,7,1,4,3 to też ciąg?

[mat_61]

Tak, teraz już rozumiem. Tylko mam jedno spostrzeżenie: 2,5,6,7,1,4,3 to też ciąg?

Oczywiście (zakładam, że tutaj istotna jest kolejność). Ciąg to uporządkowane elementy.

Nie muszą to być w ogóle liczby (jeżeli są to liczby, to nie należy kojarzyć, że ciąg to jakieś "ładne" uporządkowanie np. od najmniejszej do największej).

Mogą to być np. zwierzęta: żyrafa, słoń, tygrys, albo owoce: jabłko, gruszka, śliwka.
Jeżeli ważna jest kolejność, to zawsze będzie ciąg. Np. jeżeli opisujemy kolejność odwiedzanych w ZOO zwierząt, to możemy mieć np. taki ciąg (żyrafa, tygrys, słoń) albo taki (tygrys, słoń, żyrafa). Te ciągi są różne.

Natomiast jeżeli nie jest ważna kolejność np. opisujemy jakie zwierzęta są w naszym ZOO, to wtedy istotna jest tylko "zawartość" i wówczas mamy np. zbiór {żyrafa, tygrys, słoń} i jest to taki sam zbiór jak {tygrys, słoń, żyrafa}.

Żeby nie było wątpliwości co mamy na myśli to ciągi zapisujemy w nawiasach takich (...) a zbiory w takich {...}

[pracowity]

Aha. Dzięki serdecznie