Suma prawdopodobieństw

MattD · Post autor: **MattD** » 10 lis 2006, o 19:14

Witam!
Jestem uczniem III klasy Liceum Ogólnokształcącego. Ostatnio mialem sprawdzian z Prawdopodobieństwa i zaciekawiły mnie dane do jednego zadania. Mianowicie:

\(\displaystyle{ Dane: \\
1. P(A)=0,7 \\
2. P(A \cup B)=0,6 \\
3. P(B')=0,6 \Longleftrightarrow P(B)=0,4}\)
Moje pytanie dotyczy tego, czy jeśli P(A)=0,7 to czy sum prawdopodobieństw A i B może być mniejsze niż P(A)?
IMHO suma prawdopodobieństw musi być co do wartości większa lub równa(skrajny przypadek) wartości większego z prawdopodobieństw które sumujemy.
Prosiłbym o to, by ktoś udowodnil, że opisana sytuacja może mieć miejsce/nie jest możliwa.

Z góry dziękuje, pozdrawiam.

marcia07 · Post autor: **marcia07** » 10 lis 2006, o 19:55

MattD pisze:prawdopodobieństwo sumy prawdopodobieństwa A i prawdopodobieństwa jakiegokolwiek innego zdarzenia

zapytaj jeszcze raz - bo co to dla ciebie znaczy "prawdopodobienstwo sumy prawdopodobieństwa...."

MattD · Post autor: **MattD** » 10 lis 2006, o 20:19

No fakt, zagmatwałem się w tym
Chodzi o to, czy suma prawdopodobieństw A i B może być mniejsza niż P(A)

marcia07 · Post autor: **marcia07** » 10 lis 2006, o 20:53

ale ty chyba nadal nie o to pytasz co piszesz bo suma prawdopodobienstw zdarzen A i B to:P(A)+P(B) i odpowidz na twoje pytanie wygladalaby tak:
P(A)+P(B)

MattD · Post autor: **MattD** » 11 lis 2006, o 01:28

Marcia - i tu sie mylisz

Wzór na sume prawdopodobieństw to:
\(\displaystyle{ (P A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)}\)

Pytanie jest okey, zaznacze jeszcze raz. Mi chodzi o dowody(i inne takie

) które potwierdziłyby lub zaprzeczyly temu, że dane podane w zadaniu nie są ze sobą sprzeczne

Ja osobiście mam takie coś:
\(\displaystyle{ P(A)=0,7 \\
P(B)=0,4 \\
P(A) > P(B) \\
P(A \cup B)=0,6 \\
A=(P A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\
A \ bedzie \ najmniejsze \ gdy \ P(A \cap B)\ bedzie \ najwieksze \ ( \ P(A) \ i \ P(B) \ sa \ wartosciami \ z \ gory \ ustalonymi ). \ Wyrazenie \ P(A \cap B) \ moze \ maksymalnie \ przyjac \ wartosc \ P(B) \ (gdy \ P(B) \ jest \ podzbiorem \ P(A) ) \\
wtedy: \\
A=(P A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)=P(A)+P(B)-P(B)=P(A) \\
To \ jest \ skrajny \ przypadek \ (kiedy \ suma \ prawdopodobienstw \ bedzie \ najmniejsza). \ Niemozliwe \ jest \ wiec , \ zeby \ P(A \cup B) < P(A)}\)

Ale może ktoś ma lepszy pomysł jak udowodnić sprzeczność danych? Albo oświeci mnie gdzie w moim rozumowaniu tkwi błąd Wiem, problem jest dziwny, ale cóż sam sobie go nie wybralem

Pozdrawiam.

marcia07 · Post autor: **marcia07** » 11 lis 2006, o 13:55

i guzik prawda,wcale sie nie mylę bo to co TY piszesz to nie suma prawdopodobienstw tylko prawdopodobienstwo SUMY zdarzen A oraz B!!!!!!!
i zaraz pomyslę nad tym co piszesz dalej

[ Dodano: 11 Listopad 2006, 14:33 ]
\(\displaystyle{ P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B), 0.6 = 0,7+0,4-P(A \cap B), P(A \cap B) = 0,5, P(A)P(B) = 0,7*0,4=0,28}\) czyli zdarzenia nie sa niezależne pytamy czy \(\displaystyle{ P(A \cup B)}\)

Sir George · Post autor: **Sir George** » 11 lis 2006, o 15:53

marcia07 pisze:nasze założenie że prawdopodobienstwo sumy zdarzen ma być mniejsze od prawdopodobieństwa zdarzenia A jest PRAWDIDŁOWE dla tych danych

bla, bla, bla... NIE JEST prawidłowe, ani dla tych danych, ani dla żadnych innych...
Zauważcie, że \(\displaystyle{ A\,\subset\,A\cup B}\), co pociąga \(\displaystyle{ P(A)\,\le\,P(A\cup B)}\)

marcia07 · Post autor: **marcia07** » 11 lis 2006, o 17:07

Sir George pisze:Zauważcie, że ... , co pociąga ....

zgadzam sie z tym z ogólnych zasad prawdopodobienstwa, jednak dla DANYCH z tego zadania prawda jest że PRAWDOPODOBIEŃSTWO SUMY JEST MNIEJSZE NIŻ PRAwDOPODOBIEŃSTWO POJEDYNCZEGO ZDARZENIA A!!! , co pokazałam obliczeniami!!
z tego wniosek jest jeden - a mianowicie, ŻE DANE SĄ NIEPRAWIDŁOWE, ale ten wnisek to już sie nasuwa sam poprzez obliczenia jakie pokazałam. ja napisałam że POPRAWNe jeST ZAOŻenie że prawdopodobieństwo sumy zdarzen jest mniejsze niż prawdopodobieństwo zdarzenia A, a to jest FAŁSZ. mam nadzieje że juz sie rozumiemy.

Sir George · Post autor: **Sir George** » 12 lis 2006, o 09:53

marcia07, muszę Cię rozczarować, ale nie pokazałaś niczego. Przyjrzyj się uważnie: wychodzisz od założenia, że \(\displaystyle{ P(A)\,=\, 0,6}\) i \(\displaystyle{ P(A\cup B)\,=\,0,5}\), po czym rozwijasz i zwijasz wzór na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń, by otrzymać \(\displaystyle{ 0,5\,}\)

marcia07 · Post autor: **marcia07** » 12 lis 2006, o 14:40

Sir George pisze:To jest tak, jakbyś dla obliczenia ile jest równe 2 wykorzystała fakt, że 2+3=5, a następnie otrzymała wynik od 5 odejmując 3.

no dokładnie tak zrobiłam bo taki byl mój cel!!!
operacjami na prawdopodobienstwie pokazałam sprzeczność danych, bo chociaż P(B)P(A \cup B)[/latex])a to sprzeczność z aksjomatami prawdopodobienstwa.