Wariancja, zmienna losowa typu ciągłego

[daro[lo]]

Obliczyć V(x) gdy mamy daną dystrybuantę określoną wzorem:

\(\displaystyle{ F(x)=\left\{\begin{array}{l} 0 \ dla \x<0\\{0,5-0,5\cos x}\ dla\ 0 \le x \le \pi\\ 1\ dla\ x> \pi \end{array}}\)
Na początku wyznaczyłem \(\displaystyle{ f(x)}\),obliczyłem \(\displaystyle{ E(x)}\) z wzoru \(\displaystyle{ E(X)= \int_{- \infty }^{ \infty }xf(x)dx}\) i wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\). Następnie posłużyłem się wzorem \(\displaystyle{ V(X)=E(X^2)-E^2(X)}\), gdzie
\(\displaystyle{ E(X^2)=\int_{- \infty }^{ \infty }x^2f(x)dx=\frac{\pi ^2}{2} +2}\) Po odjęciu wychodzi
\(\displaystyle{ V(X)=\frac{\pi ^2}{4}-2}\), a w odp. jest \(\displaystyle{ \pi}\).
Mógłby mi ktoś to sprawdzić? w którym momencie się pomyliłem?

[cichon]

Gdzieś w obliczeniach \(\displaystyle{ E(X^2)}\) pomyliłeś znak (pewnie całkowałeś przez części, a tutaj często znaki się mylą) - powinno wyjść \(\displaystyle{ (-4+\pi ^2)/2}\). Po tej poprawce wychodzi \(\displaystyle{ var(X) = (-8+\pi ^2)/4}\), czyli podana odpowiedź jest niepoprawna (to się czasami zdarza).