Wylosowanie chłopca

[listopad]

Z klasy liczącej 10 chłopców i 20 dziewcząt wybieramy losowo dwie osoby,a następnie spośród nich jedną.Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania chłopca.
Dzięki za wszelką pomoc.

[Qń]

Wskazówka - wylosowanie każdej osoby jest tak samo prawdopodobne.

Q.

[nowheredense_man]

Można to zadanie zrobić na wiele różnych sposobów, np. ,,drzewkiem'. Można sobie wyobrazić to doświadczenie jako takie, które składa się z dwóch etapów: z klasy losujemy jedną osobę, a następnie (bez jej zwracania) losujemy drugą. Mamy więc drzewko o dwóch poziomach:
- pierwszy poziom: wylosowano chłopca (prawdopodobienstwo \(\displaystyle{ p_1=10/30=1/3}\)) lub wylosowano dziewczynkę (\(\displaystyle{ p_2=20/30=2/3}\)),
- drugi poziom: pod warunkiem, że wylosowano chłopca za pierwszym razem za drugim wylosowano: chłopca (\(\displaystyle{ p_{11}=9/29}\)), dziewczynkę (\(\displaystyle{ p_{12}=20/29}\)); pod warunkiem, że wylosowano dziewczynkę za pierwszym razem, za drugim wylosowano: chłopca (\(\displaystyle{ p_{21}=10/29}\)), dziewczynkę (\(\displaystyle{ p_{22}=19/29}\))
Teraz wystarczy wziąć te gałęzie w których ,,zawierają się' chłopcy i posumować iloczyny odpowiednich prawdopodobieństw, można jednak postąpić inaczej korzystając z własności zdarzenia przeciwnego, wtedy prawd. zdarzenia szukanego P(A) będzie równe \(\displaystyle{ P(A)=1-P(A')}\), czyli wystarczy obliczyć prawdopod. wylosowania dwóch dziewczynek i odjąć je od jedności, czyli mam:
\(\displaystyle{ P(A)=1-p_2\cdot p_{22}=1-2/3\cdot 19/29}\)

[Qń]

Powyższa odpowiedź jest błędna.

Zgodnie z pierwszym sposobem zaproponowanym przez przedmówcę wynik to
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}\cdot \frac{9}{29} +\frac{2}{3}\cdot \frac{10}{29}}\)
i jest to wynik prawidłowy.

W drugim sposobie jednak odejmujemy nie zdarzenie, w którym wylosowano dwie dziewczynki, lecz zdarzenia, w których jako drugą wylosowano dziewczynkę.

Dużo prościej jednak skorzystać z mojej wskazówki i od razu stwierdzić, że prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{10}{30}=\frac{1}{3}}\).

Q.

[nowheredense_man]

Powyższa odpowiedź jest błędna.
(...)
Dużo prościej jednak skorzystać z mojej wskazówki i od razu stwierdzić, że prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{10}{30}=\frac{1}{3}}\).
Q.

Przepraszam, faktycznie niedokładnie przeczytałem treść zadania (pominąłem to ostatnie losowanie), w takim razie dodajmy jeszcze trzeci etap: mamy wylosowane dwie osoby teraz losujemy spośród nich jedną. Są 4 scenariusze:
A i D: wylosowano dwóch chłopców, więc wybór chłopca \(\displaystyle{ p_{111}=1}\) jest pewny i dziewczynki niemożliwy \(\displaystyle{ p_{112}=0}\); wylosowano dwie dziewczynki: \(\displaystyle{ p_{221}=0}\), \(\displaystyle{ p_{222}=1}\)
B i C: wylosowano najpierw chłopca, potem dziewczynkę lub w odwrotnej kolejności, wtedy:
\(\displaystyle{ p_{121}=1/2}\), \(\displaystyle{ p_{122}=1/2}\); \(\displaystyle{ p_{211}=1/2}\), \(\displaystyle{ p_{212}=1/2}\)
i mam:
\(\displaystyle{ P(A)=1/3\cdot 9/29\cdot 1+1/3\cdot 20/29\cdot 1/2+2/3\cdot 10/30\cdot 1/2=1/3}\)

Co do wskazówki Qń, to czy mógłby On rozwinąć ją. Nie za bardzo załapałem o co chodzi.

[Qń]

Co do wskazówki, wystarczy zadać sobie pytanie: czy przedstawiony sposób losowania faworyzuje którąkolwiek osobą z całej trzydziestki (faworyzuje, czyli zwiększa jej szanse wyboru)? Jeśli zauważymy, że oczywiście nie, to od razu dostajemy gotowy wynik.

A Twoja idea wcześniejsza była dobra, bo istotnie chodzi o wylosowanie dwóch osób i wyróżnienie jednej z nich. I wszystko jedno czy robimy to losując najpierw dwie, a spośród nich jeszcze jedną; czy też - jak przeformułowałeś- najpierw jedną, a potem drugą, wyróżniając tę drugą. Choć jak zostało powiedziane: ta idea wydłuża rozwiązanie.

Nowa idea natomiast nie wygląda na poprawną, bo w takim ujęciu kolejność wśród dwóch wylosowanych osób nie powinna być uwzględniana, a Ty ją uwzględniasz. Choć wynik wychodzi taki sam.

Q.

[nowheredense_man]

Co do wskazówki, wystarczy zadać sobie pytanie: czy przedstawiony sposób losowania faworyzuje którąkolwiek osobą z całej trzydziestki (faworyzuje, czyli zwiększa jej szanse wyboru)? Jeśli zauważymy, że oczywiście nie, to od razu dostajemy gotowy wynik.

Nowa idea natomiast nie wygląda na poprawną, bo w takim ujęciu kolejność wśród dwóch wylosowanych osób nie powinna być uwzględniana, a Ty ją uwzględniasz. Choć wynik wychodzi taki sam.
Q.

Teraz rozumiem, dziękuję.

Co do tej idei... nie widzę tutaj błędu, kolejność odgrywa rolę tylko pozornie.