Dla niezaleznych czasów życia \(\displaystyle{ X_{1} , X_{2} > 0}\) elementow pewnego urzadzenia o dystrybuantach \(\displaystyle{ F_{X_1}}\) oraz \(\displaystyle{ F_{X_2}}\) odpowiednio ,czas zycia urzadzenia wynosi \(\displaystyle{ min\lbrace{X_{1},X_{2}}\rbrace}\) to znaczy urzadzenie psuje sie, gdy ktorys z elementow ulega awarii. Jesli \(\displaystyle{ F_{X_i}}\) ma intensywnosc awarii \(\displaystyle{ r_i{(x)} =ix^{i}}\) dla \(\displaystyle{ i = 1,2 , x>0}\) to jaka jest intensywnosc awarii zmiennej \(\displaystyle{ min\lbrace{X_{1},X_{2} }\rbrace}\) ?
bardzo Was prosze o pomoc. kompletnie nie wiem jak zrobic to zadanie:(
intensywnosc awarii
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
intensywnosc awarii
Hint:
\(\displaystyle{ \eta=\min{(X_1,X_2)}}\)
Wowczas
\(\displaystyle{ F_\eta(t)=P(\eta<t)=P(min{(X_1,X_2)}<t)=1-P(min{(X_1,X_2)}\geqslant t)=\\=1-P(X_1\geqslant t, X_2\geqslant t)=1-P(X_1\geqslant t)P(X_2\geqslant t)=\\=1-(1-P(X_1<t))(1-P(X_2<t))=1-(1-F_{X_1}(t))(1-F_{X_2}(t))}\)
\(\displaystyle{ \eta=\min{(X_1,X_2)}}\)
Wowczas
\(\displaystyle{ F_\eta(t)=P(\eta<t)=P(min{(X_1,X_2)}<t)=1-P(min{(X_1,X_2)}\geqslant t)=\\=1-P(X_1\geqslant t, X_2\geqslant t)=1-P(X_1\geqslant t)P(X_2\geqslant t)=\\=1-(1-P(X_1<t))(1-P(X_2<t))=1-(1-F_{X_1}(t))(1-F_{X_2}(t))}\)