ruina gracza

[Amino2009]

Grześ i Heniek grają rzucając kostką. Gdy wypada 6 lub 1 Heniek wygrywa i otrzymuje 10 od Grzesia. W przypadku gry wypada inna wartosc Grzes wygrywa 10 od Henia. Grzes rozpoczynając gre ma 100, Heniek 600. Jakiej jest prawdopodobienstwo ze heniek straci wszystkie pieniadze w tej grze?

[andy_rod]

Niech \(\displaystyle{ p _{i}}\) oznacza p-stwo, że Heniek przegra wszystko jeśli zaczynał z kasą w wysokości \(\displaystyle{ i}\).
Będziemy szukać oczywiście \(\displaystyle{ p _{600}=?}\).
Zauwżamy, że
\(\displaystyle{ p _{10}=2/3+1/3 \cdot p _{20}\\
p _{20}=2/3 \cdot p _{10}+1/3 \cdot p _{30}\\
p _{30}=2/3 \cdot p _{20}+1/3 \cdot p _{40}\\
...\\
p _{690}=2/3 \cdot p _{680}+1/3 \cdot p _{700}}\)
Zauważamy, że \(\displaystyle{ p _{700}=0}\) bo to oznacza, że Grześ wszystko przegrał czyli Heniek juz nie przegra.
Czyli masz układ 69 równań z 69 niewiadomymi teraz tylko to policzyć

[Konikov]

Ja bym odwrócił zapis i liczył rekurencyjnie, przy czym, jak można zauważyć, \(\displaystyle{ p_0 = 1}\) (co jest chyba oczywiste ;D Mając zero kasy się po prostu przegrywa).

\(\displaystyle{ p_0 = 1\\
p_n = 3p_{n-1} - 2p_{n-2}}\)

(liczniki podzieliłem dla wygody przez 10)

-- 23 września 2010, 20:17 --

Przydałoby się także \(\displaystyle{ p_1}\).-- 24 września 2010, 02:00 --Równanie można zapisać tak:

\(\displaystyle{ p_n = A2^n + B}\)

Tyle że trzeba mieć \(\displaystyle{ p_1}\) aby obliczyć owe stałe (\(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\)).