Cześć
Mamy 9 monet: 6 dwustronnych (P(O)=2/5) oraz 3 z podwójnym orłem. Wybieramy losowo jedną monetę i zaczynamy nią rzucać. Znaleźć rozkład liczby wykonywanych rzutów, gdy:
a) rzucamy tak długo, dopóki nie wypadnie orzeł
b) rzucamy tak długo, dopóki po raz trzeci nie wypadnie orzeł
c) rzucamy tak długo, dopóki nie wypadnie orzeł, ale nie więcej niż 4 razy.
Pozdrawiam
Rozkład rzutów monetą
-
Sir George
- Użytkownik
- Posty: 1145
- Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Konopii
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 203 razy
Rozkład rzutów monetą
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ X}\) - wylosowano monetę dwustronną
\(\displaystyle{ Y}\) - wylosowano monetę z podwójnym orłem
\(\displaystyle{ O}\) - wyrzucono orła
\(\displaystyle{ R}\) - wyrzucono reszkę
\(\displaystyle{ A, B, C}\) - zmienne losowe odpowiadające punktom a), b), c) zadania
Oczywiście \(\displaystyle{ X\cup Y\,=\,\Omega \qquad \& \qquad O\cup R\,=\, \Omega}\).
Ponadto \(\displaystyle{ P(X)\,=\,\frac23 \qquad \& \qquad P(Y)\,=\,\frac13}\) oraz \(\displaystyle{ P(O|X)\,=\,\frac25 \qquad \& \qquad P(O|Y)\,=\,1}\)
Teraz
\(\displaystyle{ P(A=n)\,=\,P(X)\cdot P(R|X)^{n-1}\cdotP(O|X)+P(Y)\cdot P(R|Y)^{n-1}\cdotP(O|Y)}\)
\(\displaystyle{ P(B=n)\,=\,P(X)\cdot{n-1\choose2}\cdot P(R|X)^{n-3}\cdotP(O|X)^3 + P(Y)\cdot{n-1\choose2}\cdot P(R|Y)^{n-3}\cdotP(O|Y)^3}\)
\(\displaystyle{ P(C=n)\,=\,P(X)\cdot P(R|X)^{n-1}\cdotP(O|X)+P(Y)\cdot P(R|Y)^{n-1}\cdotP(O|Y)}\) dla \(\displaystyle{ n\le4}\) oraz \(\displaystyle{ P(C>4)\,=\,0}\)
\(\displaystyle{ X}\) - wylosowano monetę dwustronną
\(\displaystyle{ Y}\) - wylosowano monetę z podwójnym orłem
\(\displaystyle{ O}\) - wyrzucono orła
\(\displaystyle{ R}\) - wyrzucono reszkę
\(\displaystyle{ A, B, C}\) - zmienne losowe odpowiadające punktom a), b), c) zadania
Oczywiście \(\displaystyle{ X\cup Y\,=\,\Omega \qquad \& \qquad O\cup R\,=\, \Omega}\).
Ponadto \(\displaystyle{ P(X)\,=\,\frac23 \qquad \& \qquad P(Y)\,=\,\frac13}\) oraz \(\displaystyle{ P(O|X)\,=\,\frac25 \qquad \& \qquad P(O|Y)\,=\,1}\)
Teraz
\(\displaystyle{ P(A=n)\,=\,P(X)\cdot P(R|X)^{n-1}\cdotP(O|X)+P(Y)\cdot P(R|Y)^{n-1}\cdotP(O|Y)}\)
\(\displaystyle{ P(B=n)\,=\,P(X)\cdot{n-1\choose2}\cdot P(R|X)^{n-3}\cdotP(O|X)^3 + P(Y)\cdot{n-1\choose2}\cdot P(R|Y)^{n-3}\cdotP(O|Y)^3}\)
\(\displaystyle{ P(C=n)\,=\,P(X)\cdot P(R|X)^{n-1}\cdotP(O|X)+P(Y)\cdot P(R|Y)^{n-1}\cdotP(O|Y)}\) dla \(\displaystyle{ n\le4}\) oraz \(\displaystyle{ P(C>4)\,=\,0}\)