Witam, mam zadanie:
Rzucamy jednocześnie dwiema kostkami do gry tak długo, ąz suma oczek na obu kostkach wyrzuconych w jednym rzucie jest równa 7. Obliczyć:
a) prawdopodobieństwo wykonania parzystej liczby rzutów.
b) wartość oczekiwaną liczby rzutów.
Proszę o pomoc.
Rzut kostką - parzysta liczba rzutów.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Rzut kostką - parzysta liczba rzutów.
Prawdopodobieństwo, że w pojedynczym rzucie suma oczek na obu kostkach będzie równa siedem jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\). Jeśli więc \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową oznaczającą liczbę wykonanych rzutów, to dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\) mamy:
\(\displaystyle{ P(X=n)= \frac{1}{6}\cdot \left( \frac{5}{6}\right)^{n-1}}\)
W podpunkcie a) musimy zsumować:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} P(X=2k)}\)
co nie jest trudne, bo to po prostu suma ciągu geometrycznego.
W podpunkcie b) musimy natomiast zsumować:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} n\cdot P(X=n)}\)
co już jest nieco trudniejsze. Wskazówka: poszukaj pod hasłem "metoda zaburzania". Ewentualnie zróżniczkuj obustronnie równość \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}= \sum_{n=0}^{\infty}x^n}\).
Q.
\(\displaystyle{ P(X=n)= \frac{1}{6}\cdot \left( \frac{5}{6}\right)^{n-1}}\)
W podpunkcie a) musimy zsumować:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} P(X=2k)}\)
co nie jest trudne, bo to po prostu suma ciągu geometrycznego.
W podpunkcie b) musimy natomiast zsumować:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} n\cdot P(X=n)}\)
co już jest nieco trudniejsze. Wskazówka: poszukaj pod hasłem "metoda zaburzania". Ewentualnie zróżniczkuj obustronnie równość \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}= \sum_{n=0}^{\infty}x^n}\).
Q.