losowanie kul i rzuty kostką

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Sean
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 22 wrz 2008, o 20:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy

losowanie kul i rzuty kostką

Post autor: Sean »

Mam problem w rozwiązaniu 2 zadań. Byłbym wdzięczny za pomoc.

1.
a ) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pięciu rzutach kostką szóstka wypadnie trzykrotnie ?
b ) Jakie jest prawdopodobieństwo że w pięciu rzutach kostką szóstka wypadnie CO NAJMNIEJ trzykrotnie ?
2. W urnie znajdują się 4 kule czarne i 2 kule białe.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trzech losowaniach, co najmniej dwukrotnie wyciągnie się kulę białą ? ( Po każdym losowaniu kula wraca do urny)

W 1 a wyszło mi coś 0,833...
a w 2 1,5

Dziwne rzeczy dlatego proszę o dobry wynik co bym mógł dojść do tego jak to powinienem obliczyć.
Ostatnio zmieniony 16 wrz 2010, o 13:59 przez scyth, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
bayo84
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 564
Rejestracja: 30 lip 2009, o 09:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 122 razy

losowanie kul i rzuty kostką

Post autor: bayo84 »

Oczywiście mat61 ma rację - przepraszam za pomyłkę. Tutaj masz jak rozwiązać zadanie 1. dla podpunktu b zrób sumę trzech przypadków.
Ostatnio zmieniony 16 wrz 2010, o 14:14 przez bayo84, łącznie zmieniany 1 raz.
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

losowanie kul i rzuty kostką

Post autor: mat_61 »

bayo84 Twoje obliczenia są złe.

Dla zadania 1) można zastosować schemat Bernouliego co jest wg mnie najprostsze (choć oczywiście dobry jest każdy inny poprawny sposób).

O ile moc zbioru Omega jest obliczona poprawnie (choć zapis trochę dziwny - przecież to jest "klasyczna" wariacja z powtórzeniami), to moc zbioru A i B już nie (powinna być zdecydowanie większa).

Do zadania 2) także można zastosować schemat Bernouliego, "drzewko", czy wzór na prawdopodobieństwo iloczynu niezależnych zdarzeń. Powinieneś otrzymać wynik: \(\displaystyle{ P(C)= \frac{7}{27}}\)
Sean
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 22 wrz 2008, o 20:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy

losowanie kul i rzuty kostką

Post autor: Sean »

w a) wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{125}{108}}\)
Nie pamiętam jak liczyło się zadania z ! bo pojawia się to po rozwinięciu wzoru. PRzypomni mi ktoś ja się to nazywa ?
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

losowanie kul i rzuty kostką

Post autor: mat_61 »

Zauważ, że wynik masz większy od 1 !?. Prawdopodobieństwo zawsze jest w przedziale \(\displaystyle{ <0;1>}\).
Sean pisze:PRzypomni mi ktoś ja się to nazywa ?
O co dokładnie pytasz? We wzorze na p-stwo w schemacie Bernouliego jest dwumian Newtona:

\(\displaystyle{ {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}}\)

Znaczek ! (silnia) oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych, np:

\(\displaystyle{ 5!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5=...}\)
Sean
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 22 wrz 2008, o 20:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy

losowanie kul i rzuty kostką

Post autor: Sean »

Właśnie do tego doszedłem. Zapomniałem, że to silnia ...-- 16 września 2010, 17:53 --W zadaniu drugim według tego schematu wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{2}{8}}\)
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

losowanie kul i rzuty kostką

Post autor: mat_61 »

Jak chcesz, żeby zobaczyć czy dobrze zrobiłeś zadanie to napisz całe swoje obliczenia.
Napisałem Ci wcześniej jaki otrzymałem wynik w zadaniu 2) \(\displaystyle{ \left(P(C)= \frac{7}{27}\right)}\)
i jak widzisz jest on inny od Twojego.
Sean
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 22 wrz 2008, o 20:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy

losowanie kul i rzuty kostką

Post autor: Sean »

Dobra 2 Zadanie robię tak :

P= \(\displaystyle{ \frac{6}{2}}\) ( \(\displaystyle{ \frac{2}{4}}\) ) \(\displaystyle{ ^{2}}\)\(\displaystyle{ \frac{4}{6}}\)

w 1 nawiasie zasugerowałem się tym, że są 2 białe kule

A w zadaniu 1a wynik wyszedł mi 0,0321 ... czy jest poprawny ? no i jak zrobić b ? bo niby pytanie podobne, ale ...
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

losowanie kul i rzuty kostką

Post autor: mat_61 »

Twój zapis jest niestety nieczytelny.

Jeżeli korzystasz ze schematu Bernouliego, to zwróć uwagę na to, że chodzi o wyciągnięcie kuli białej co najmniej dwukrotnie (czyli 2 lub 3 razy). Musisz osobno obliczyć p-stwa dla tych dwóch przypadków i je dodać. Na początek napisz jakie wartości podstawiasz do wzoru dla k=2 oraz k=3:

\(\displaystyle{ P_{n}(k)= {n \choose k} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k}}\)

\(\displaystyle{ n=...(?) \ \ k=2 \ \ p=...(?) \ \ q=...(?)}\)

\(\displaystyle{ n=...(?) \ \ k=3 \ \ p=...(?) \ \ q=...(?)}\)
Sean
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 22 wrz 2008, o 20:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy

losowanie kul i rzuty kostką

Post autor: Sean »

\(\displaystyle{ k=2 \\
n=3,p= \frac{2}{6}, q= \frac{4}{6} \\
k=3 \\
n=3,p=\frac{2}{6}, q= \frac{4}{6}}\)
Ostatnio zmieniony 16 wrz 2010, o 23:29 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Proszę całe wyrażenia umieszczać wewnątrz znaczników [latex][/latex].
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

losowanie kul i rzuty kostką

Post autor: mat_61 »

OK. Teraz tylko wstawić do wzoru i obliczyć.
Sean
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 22 wrz 2008, o 20:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy

losowanie kul i rzuty kostką

Post autor: Sean »

No i właśnie dla \(\displaystyle{ k=2}\) wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{2}{8}}\)

dla \(\displaystyle{ k=3}\) wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) czyli dodając \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

może dla k=3 mam błąd, gdyż po rozpisaniu wszystkiego z silni wychodzi mi 6 \(\displaystyle{ p=\frac{8}{216}}\) natomiast \(\displaystyle{ q=1}\)
Ostatnio zmieniony 16 wrz 2010, o 23:31 przez Crizz, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Proszę CAŁE wyrażenia, nawet proste równania, umieszczać wewnątrz znaczników [latex][/latex].
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

losowanie kul i rzuty kostką

Post autor: mat_61 »

Nie wiem skąd masz taki wynik i jak to liczysz? Przecież masz tylko działania na liczbach:

\(\displaystyle{ P_{n}(k)= {n \choose k} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k} \Rightarrow P_{3}(2)= {3 \choose 2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right) ^{2} \cdot \left(\frac{2}{3}\right) ^{3-2}= \frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3}=3 \cdot \frac{2}{27}= \frac{6}{27}}\)

\(\displaystyle{ P_{3}(3)= {3 \choose 3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right) ^{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right) ^{3-3}=\frac{3!}{3! \cdot 0!} \cdot \frac{1}{27} \cdot 1= \frac{1}{27}}\)

\(\displaystyle{ P_{3}(2)+P_{3}(3)= \frac{6}{27}+ \frac{1}{27}= \frac{7}{27}}\)
Sean
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 22 wrz 2008, o 20:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy

losowanie kul i rzuty kostką

Post autor: Sean »

Dobra Dzięki już wiem, gdzie zrobiłem błędy
ODPOWIEDZ