Mam takie zadanie
Zmienna losowa X ma rozkład normalny \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Jaki będzie rozkłąd zmiennej \(\displaystyle{ Y=3X+2}\)
Rozkład normalny
-
piotrek20008
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 12 paź 2008, o 13:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 9 razy
-
szw1710
Rozkład normalny
\(\displaystyle{ E(3x+2)=3E(X)+E(2)=E(2)=2}\)
\(\displaystyle{ D^2(Y)=E\bigl((Y-EY)^2\bigr)=E\bigl(Y-2)^2\bigr)=E\bigl((3X)^2\bigr)=9E(X^2)=\\=9\int_{-\infty}^{\infty}x^2\text{e}^{-\frac{x^2}{2}}=9\sqrt{2\pi}}}\)
\(\displaystyle{ D(Y)=3\cdot(2\pi)^{\frac{1}{4}}}\)
Więc Y na rozkład \(\displaystyle{ N\left(2,\,3\cdot(2\pi)^{\frac{1}{4}}\right)}\)
\(\displaystyle{ D^2(Y)=E\bigl((Y-EY)^2\bigr)=E\bigl(Y-2)^2\bigr)=E\bigl((3X)^2\bigr)=9E(X^2)=\\=9\int_{-\infty}^{\infty}x^2\text{e}^{-\frac{x^2}{2}}=9\sqrt{2\pi}}}\)
\(\displaystyle{ D(Y)=3\cdot(2\pi)^{\frac{1}{4}}}\)
Więc Y na rozkład \(\displaystyle{ N\left(2,\,3\cdot(2\pi)^{\frac{1}{4}}\right)}\)