wektor losowy o gęstości:

[malwinka993]

Wektor losowy (X,Y) ma gęstość:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha x,<x,y> \in K \\ 0, w \ przeciwnym \ wypadku \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ K=[-3,-2]\times [-2,-1]}\)

1)wyznaczyć \(\displaystyle{ \alpha}\)
2) wyznaczyć gęstości brzegowe zmiennych losowych X i Y
3) wyznaczyć kwantyle rzedu \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) i \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) zmiennych losowych X i Y
4)wyznaczyć wariancję zmiennych losowych X i Y

[leszczu450]

Również odkopuję to zadanie.

Zajmę sie pierwszym podpunktem. Całka po gęstości ma dać nam \(\displaystyle{ 1}\). Zatem:

\(\displaystyle{ 1= \int_{\RR}\int_{\RR}f(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x}\)

Czyli inaczej:

\(\displaystyle{ 1= \int_{-3}^{-2} \int_{-2}^{-1} \alpha x \mathrm{d}y \mathrm{d}x = - \frac{5}{2}\alpha}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ \alpha=- \frac{2}{5}}\)

Zatem nasza gęstośc ma postać:

\(\displaystyle{ \begin{cases} -\frac{2}{5}x & (x,y) \in K \\ 0 & \mbox{w przeciwnym wypadku} \end{cases}}\)

Teraz podpunkt drugi. Mając już gęstość łączną prosto można wyliczyć, że:

\(\displaystyle{ f_X(x)= \int_{-2}^{-1} - \frac{2}{5}x \mathrm{d}y}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left[ -3,-2\right]}\),

\(\displaystyle{ f_Y(y)= \int_{-3}^{-2} - \frac{2}{5}x \mathrm{d}x}\) dla \(\displaystyle{ y \in \left[ -2,-1\right]}\)

Wydaje mi się, że te dwa podpunkty dobrze rozwiązałem. Niemniej jednak proszę kogoś o sprawdzenie. Również chciałbym dowiedzieć się jak zrobić podpunkt 4).

Z góry dziękuję.