Wektor losowy (X,Y) ma gęstość:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha x,<x,y> \in K \\ 0, w \ przeciwnym \ wypadku \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ K=[-3,-2]\times [-2,-1]}\)
1)wyznaczyć \(\displaystyle{ \alpha}\)
2) wyznaczyć gęstości brzegowe zmiennych losowych X i Y
3) wyznaczyć kwantyle rzedu \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) i \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) zmiennych losowych X i Y
4)wyznaczyć wariancję zmiennych losowych X i Y
wektor losowy o gęstości:
-
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 26 sie 2010, o 00:16
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: łódź
wektor losowy o gęstości:
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2010, o 14:25 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Proszę nawet proste wyrażenia umieszczać wewnątrz znaczników[latex][/latex] .
Powód: Poprawa wiadomości. Proszę nawet proste wyrażenia umieszczać wewnątrz znaczników
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
wektor losowy o gęstości:
Również odkopuję to zadanie.
Zajmę sie pierwszym podpunktem. Całka po gęstości ma dać nam \(\displaystyle{ 1}\). Zatem:
\(\displaystyle{ 1= \int_{\RR}\int_{\RR}f(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x}\)
Czyli inaczej:
\(\displaystyle{ 1= \int_{-3}^{-2} \int_{-2}^{-1} \alpha x \mathrm{d}y \mathrm{d}x = - \frac{5}{2}\alpha}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \alpha=- \frac{2}{5}}\)
Zatem nasza gęstośc ma postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -\frac{2}{5}x & (x,y) \in K \\ 0 & \mbox{w przeciwnym wypadku} \end{cases}}\)
Teraz podpunkt drugi. Mając już gęstość łączną prosto można wyliczyć, że:
\(\displaystyle{ f_X(x)= \int_{-2}^{-1} - \frac{2}{5}x \mathrm{d}y}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left[ -3,-2\right]}\),
\(\displaystyle{ f_Y(y)= \int_{-3}^{-2} - \frac{2}{5}x \mathrm{d}x}\) dla \(\displaystyle{ y \in \left[ -2,-1\right]}\)
Wydaje mi się, że te dwa podpunkty dobrze rozwiązałem. Niemniej jednak proszę kogoś o sprawdzenie. Również chciałbym dowiedzieć się jak zrobić podpunkt 4).
Z góry dziękuję.
Zajmę sie pierwszym podpunktem. Całka po gęstości ma dać nam \(\displaystyle{ 1}\). Zatem:
\(\displaystyle{ 1= \int_{\RR}\int_{\RR}f(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x}\)
Czyli inaczej:
\(\displaystyle{ 1= \int_{-3}^{-2} \int_{-2}^{-1} \alpha x \mathrm{d}y \mathrm{d}x = - \frac{5}{2}\alpha}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \alpha=- \frac{2}{5}}\)
Zatem nasza gęstośc ma postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -\frac{2}{5}x & (x,y) \in K \\ 0 & \mbox{w przeciwnym wypadku} \end{cases}}\)
Teraz podpunkt drugi. Mając już gęstość łączną prosto można wyliczyć, że:
\(\displaystyle{ f_X(x)= \int_{-2}^{-1} - \frac{2}{5}x \mathrm{d}y}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left[ -3,-2\right]}\),
\(\displaystyle{ f_Y(y)= \int_{-3}^{-2} - \frac{2}{5}x \mathrm{d}x}\) dla \(\displaystyle{ y \in \left[ -2,-1\right]}\)
Wydaje mi się, że te dwa podpunkty dobrze rozwiązałem. Niemniej jednak proszę kogoś o sprawdzenie. Również chciałbym dowiedzieć się jak zrobić podpunkt 4).
Z góry dziękuję.