Prawdopodobieństwo i nieskończoność

[kajteck]

A mianowicie:

Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania choć jednego sukcesu, po wykonaniu nieskończenie wielkiej liczby testów zdarzenia którego prawdopodobieństwo sukcesu wynosi P=1/inf (czyli jest nieskończenie małe)?

Co podpowiada nam "chłopski rozum"? I jak wygląda poprawne rozwiązanie?

[:)]

to chyba cos z bernouliego by bylo..co nie??
pozdrawiam!!!

[kajteck]

Dzięki za wyczerpującą i owocną wypowiedź... :/

Może jakiś konkret?

[Hetacz]

Jak takie dziwne rzeczy to może regułą Hospitala, ale nie jestem pewien

[chlip]

ja też bym to zrobił z bernoulliego:
jeżli wykonujemy n-niezależnych od siebie dokładnie takich samych doświadczeń z prawdopodobieństwami sukcesu p w jednym doświadczeniu to prawdopodobieństwo, że dokładnie k z nich zakończy się sukcesem wyraża się wzorem
P=(n po k)pnqn-k , q=1-p, k=1,2,....,n

tutaj n->inf, k=1
nie wiem czy dobrze ale ja przyjąbym, że
p=1/n więc q=1-1/n
dalej policzyłbym granice
lim[n->inf](n po 1)*1/n*(1-1/n)n
wyszło mi 1/e,
ale to jest tylko propozycja, której nie jestem pewien

[Mmmkm]

Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania choć jednego sukcesu, po wykonaniu nieskończenie wielkiej liczby testów zdarzenia którego prawdopodobieństwo sukcesu wynosi P=1/inf (czyli jest nieskończenie małe)?

wyszło mi 1/e, ale to jest tylko propozycja, której nie jestem pewien

'Liczba Eulera to liczba oznaczana jako e=2,7182... i zdefiniowana poprzez wartość wyrażenia:'/wikipedia/
jesli prawdopodobienstwo sukcesu jest nieskonczenie male, a Tobie wyszlo cos co jest mniejsze od 1/3 ale wieksze od 1/2 to nie wydaje mi sie to prawidlowe...

[Yavien]

Na moj chlopski rozum prawdopodobienstwo to jest rowne 1.
I umiem to wykazac, przez zdarzenie przeciwne:
Prawdopodobienstwo sukcesu w pojedynczej probie p= 1/inf (bardzo male)
Prawdopodobienstwo porazki w pojedynczej probie q = 1 - p (calkiem spore, ale mniejsze od jednosci, 0 n->inf(1 - qn) = 1 - limn->inf(qn) = 1 - [0] = 1

Ja mam taki chlopski rozum zgodny z teoria

[suwak]

Twoje prawdopodobieństwo jest niezerowe niech wynosi (1/n)

lim_n->inf P (S_n = 1) i wystarczy policzyć granicę

ajeżeli mamy nieskończoną przestrzeń zdarzeń to nie można stosować definicji klasycznej czyli

A - zbiór
Q- cała przestrzeń

P(A)=#A / #Q

bo np.
losujemy punkt z odcinka [0,1]

i co P({1/3}) = 1/ inf ??

nie każdy punkt z odcinka jest przecież jednakowo prawdopodobny i prawdopodobieństwo jego wylosowania jest niezerowe

albo np. mamy kwadrat w układzie współrzędnych o wierzchołkach

(0,0) (0,1) (1,1) (1,0) i ćwierć okrąg i promieniu 1 i środku w 0. Jakie jest prawdopodobieństwo że losowo wybrany punkt z [0,1] x [0,1] trafi do wnętrza koła ?? No przecież niezerowe, a nie 1/ inf

W takich sytacjach trzeba stosować inne definicje, np. geometryczną
w zadaniu z kwadratem P(A) = 1/4 pola koła / pole kwadratu

[chlip]

'Liczba Eulera to liczba oznaczana jako e=2,7182... i zdefiniowana poprzez wartość wyrażenia:'/wikipedia/
jesli prawdopodobienstwo sukcesu jest nieskonczenie male, a Tobie wyszlo cos co jest mniejsze od 1/3 ale wieksze od 1/2 to nie wydaje mi sie to prawidlowe...

nie twierdze, że moje rozwiązanie jest prawidłowe,
spójrz na rozwiązanie Yavien, jej wyszło 1

pamiętaj, że prawdopodobieństwo przyjmuje wartości z przedziału [0,1] więc dla mnie Twój argument jest nie na miejscu

[martishia]

Czy ktoś może ma pomysł na zrobienie tego zadania?



Zad. 8. W przesyłce pomarańczy przeciętnie 5 % stanowią owoce nadpsute. Zakupiono
(wylosowano) 8 owoców. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych owoców

a) nie było nadpsutych, b) 2 owoce były nadpsute, c) co najmniej siedem były nadpsutych,
d) co najwyżej jeden był nadpsuty, e) przynajmniej jeden był nadpsuty,
f) jaka jest oczekiwana liczba zakupionych nadpsutych owoców, a jakie odchylenie standardowe? (zdefiniować najpierw zmienna losową!) Podać interpretacje.
g) Zdefiniować dystrybuantę i narysować jej wykres,

[bstq]

Na moj chlopski rozum prawdopodobienstwo to jest rowne 1.
I umiem to wykazac, przez zdarzenie przeciwne:
Prawdopodobienstwo sukcesu w pojedynczej probie p= 1/inf (bardzo male)
Prawdopodobienstwo porazki w pojedynczej probie q = 1 - p (calkiem spore, ale mniejsze od jednosci, 0 n->inf(1 - qn) = 1 - limn->inf(qn) = 1 - [0] = 1

Ja mam taki chlopski rozum zgodny z teoria

mnie też tak wyszło:
\(\displaystyle{ p=P\left(X_i=1\right)=\varepsilon>0}\)
\(\displaystyle{ P\left(\lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^{N}X_{i}>1\right)=1-P\left(\lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^{N}X_{i}=0\right)=1-\lim_{N\to\infty}\binom{N}{0}p^{0}\left(1-p\right)^{N}=1-\lim_{N\to\infty}\left(1-p\right)^{N}=1-\lim_{N\to\infty}\left(1-\varepsilon\right)^{N}\overset{1-\varepsilon<1}{=}1-0=1}\)