splot w prawdopodobienstwie

[withdrawn]

Niech \(\displaystyle{ X,Y}\) będą niezależne. Jeśli \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [0,1]}\) , \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [0,2]}\), to jaki rozkład ma \(\displaystyle{ X+Y}\).

\(\displaystyle{ X \sim 1_{[0,1]}}\)
\(\displaystyle{ Y \sim 1_{[0,2]}}\)

\(\displaystyle{ f(x) =\begin{cases} 1 , x\in [0,1]\\0 , poza tym\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f(y) =\begin{cases} 1/2 , y\in [0,2]\\0 , poza tym\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ g(z) = \int\limits_{- \infty }^{ \infty } f(x) \cdot f(z-x) dx = \int\limits_{T_{z} } 1/2 dx}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ T_{z} = { x\in R : 0 \le x \le 1 , 0 \le z-x \le 2}}\)

i zaczynaja sie schody, dobrze to wyzej jest? i czy ktos umialby dokonczyc?
bede wdzieczna~!

[Zlodiej]

Niech ta pierwsza funkcja będzie oznaczona \(\displaystyle{ f_1}\), a druga \(\displaystyle{ f_2}\).

\(\displaystyle{ g(x)= \int_{- \infty }^{ \infty }f_1(x)\cdot f_2(z-x) dx = \int_{0}^{1} f_2(z-x)dx}\).

Robimy podstawienie \(\displaystyle{ t=z-x \Leftrightarrow -dt = dx}\), otrzymujemy:

\(\displaystyle{ g(x)= - \int_{z}^{z-1} f_2(t)dt = \int_{z-1}^{z} f_2(t) dt}\).

Rozpatrujemy 5 przypadków:

1) \(\displaystyle{ z \le 0}\)
2) \(\displaystyle{ z > 0 \wedge z \le 1}\)
3) \(\displaystyle{ z > 1 \wedge z \le 2}\)
4) \(\displaystyle{ z > 2 \wedge z \le 3}\)
5) \(\displaystyle{ z > 3}\)