oszacowanie prawdopodobieństwa

[olka_k]

niech X, Y -niezależne zmienne losowe o rozkładzie N(0,1) każda;
Czy \(\displaystyle{ P(X^2+Y^2<4) \le 0.75}\) ?

[Majorkan]

Jeżeli zmienne \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) są niezależne i mają rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\), to zmienna \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} X_k^2}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \chi^2}\) o \(\displaystyle{ n}\) stopniach swobody.

[olka_k]

no tak... tylko, że to jest zadanie z egzaminu w formie testowej (TAK/NIE) i nie ma do dyspozycji tablic, a tu bym potrzebowała dystrybuantę rozkładu chi-kwadrat?...

Można to jeszcze jakoś inaczej zrobić?

[Majorkan]

W takim razie policzmy wprost:
Skoro X i Y są niezależne to wektor losowy (X,Y) będzie miał gęstość
\(\displaystyle{ h(x,y)=\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\)
Stąd (przy drugiej równości przechodzimy na współrzędne biegunowe):
\(\displaystyle{ P(X^2+Y^2<4)= \iint_{\{X^2+Y^2<4\}} h(x,y) dx dy = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2} \frac{1}{2 \pi} r e^{-\frac{1}{2}r^2}dr d \varphi}\)
A to da się już policzyć (podstawiając za \(\displaystyle{ r^2}\)).

[olka_k]

Oo, faktycznie:) dzięki za pomoc