15 par rękawiczek

diego_maradona · Post autor: **diego_maradona** » 29 sie 2010, o 17:38

W pudełku znajduje się 15 par rękawiczek, wśród których dowolne dwie pary różnią się od siebie. Z tego pudełka wybieramy losowo cztery rękawiczki.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia B polegającego na tym, że wśród wylosowanych rękawiczek nie ma ani jednej pary.

Ja to robiłem tak
\(\displaystyle{ \pi = {30 \choose 4}}\)

\(\displaystyle{ |B'|={15 \choose 2} \cdot {2 \choose 2} + 2 {15 \choose 3} \cdot {3 \choose 1}+ 2 {15 \choose 2} \cdot {2 \choose 1} \cdot {13\choose 1}}\)

Podstawiając do wzoru wyszedł mi wynik inny niż w odpowiedziach
Czy dobrze określiłem zdarzenie przeciwne ?
W odp jest \(\displaystyle{ P(B)= \frac{208}{261}}\)

xanowron · Post autor: **xanowron** » 29 sie 2010, o 18:21

Zdarzeniem przeciwnym jest wylosowanie co najmniej jednej pary, czyli:

\(\displaystyle{ |B'|= {15 \choose 1} \cdot {2 \choose 2} \cdot {14 \choose 2} \cdot {2 \choose 1} \cdot {2 \choose 1} + {15 \choose 2} \cdot {4 \choose 4}}\)
tzn. losujemy jedną parę i bierzemy obie rękawiczki, z pozostałych 14 par rękawiczek bierzemy dwie pary i po jednej rękawiczce z każdej z par, albo losujemy dwie pary i zabieramy wszystkie 4 rękawiczki otrzymując.

i wychodzi poprawny wynik.

Ostatni raz takie zadanie z prawdopodobieństwa widziałem w połowie kwietnia więc mogę się mylić

Mógłbyś opisać dlaczego tak, a nie inaczej policzyłeś zdarzenie przeciwne?

@edit
Tutaj masz zrobione to wprost 189489.htm

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 30 sie 2010, o 15:34

xanowron pisze: \(\displaystyle{ |B'|= ... \cdot {28 \choose 2} + ...}\)
tzn. losujemy jedną parę i bierzemy obie rękawiczki, a z pozostałych 28 rękawiczek bierzemy dowolne dwie

Czy jesteś pewien że ten przypadek opisuje wylosowanie dokładnie jednej pary?

diego_maradona · Post autor: **diego_maradona** » 30 sie 2010, o 17:27

Już tłumaczę

B'- losujemy dwie lewe i dwie prawe(tak żeby były dwie pary) lub trzy lewe i jedną prawą(jedna prawa do pary z którąś z 3 wylosowanych lewych) lub trzy prawe i jedną lewą do pary lub dwie prawe i jedną lewą nie do pary a jedna do pary lub dwie lewe i jedna prawa nie do pary i jedną do pary.

Co jest złego w moim rozumowaniu?

xanowron · Post autor: **xanowron** » 30 sie 2010, o 17:46

Inkwizytor pisze:
xanowron pisze: \(\displaystyle{ |B'|= ... \cdot {28 \choose 2} + ...}\)
tzn. losujemy jedną parę i bierzemy obie rękawiczki, a z pozostałych 28 rękawiczek bierzemy dowolne dwie
Czy jesteś pewien że ten przypadek opisuje wylosowanie dokładnie jednej pary?

Czepiasz się
Nie opisuje ofc, już poprawiam, a w drugim temacie mam nadzieję, że jest prawidłowo

Zamiast tego \(\displaystyle{ |B'|= ... \cdot {28 \choose 2} + ...}\) to chyba będzie ok: \(\displaystyle{ |B'|= ... \cdot {14 \choose 2} \cdot {2 \choose 1} \cdot {2 \choose 1}+ ...}\)

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 30 sie 2010, o 19:58

Ło matko! Ależ sobie utrudniasz życie?
Przypadek jednej pary rękawiczek można prościej:

1) Wybieramy jedną parę \(\displaystyle{ {15 \choose 1}}\)
2a) Wybieramy dwie dowolne \(\displaystyle{ {28 \choose 2}}\) ale zawierałoby to 14 przypadków dobrania drugiej pary
2b) dlatego odejmujemy 14 przypadków wyboru drugiej pary \(\displaystyle{ {28 \choose 2} - {14 \choose 1}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ {15 \choose 1} \cdot \left( {28 \choose 2} - {14 \choose 1}\right)}\)

diego_maradona pisze: Co jest złego w moim rozumowaniu?

Nic tylko przy takim rozdrobnieniu przypadków warto się zastanowić nad zdarzeniem przeciwnym