Takie zadanko miałem na egzaminie:
Są dwie urny. W pierwszej są 4 kule białe i 2 czarne, a w drugiej 2 białe i 6 czarnych. Wylosowaliśmy jedną kulę z urny pierwszej i wrzuciliśmy ją do drugiej, a następnie wylosowaliśmy kulę z urny drugiej i okazało się, że jest biała. Jakie jest prawdopodobieństwo że z pierwszej urny wylosowaliśmy kulę białą?
dwie urny
-
pajong8888
- Użytkownik
- Posty: 231
- Rejestracja: 29 lip 2010, o 00:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 38 razy
dwie urny
Niech:
\(\displaystyle{ B_b}\) oznacza zdarzenie, że z 2. urny wylosujemy kulę białą
\(\displaystyle{ A_b}\) że z 1. urny wylosujemy kulę białą
\(\displaystyle{ A_c}\) że z 1. urny wylosujemy kulę czarną
Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:
\(\displaystyle{ P(B_b)=P(B_b|A_b)\cdot P(A_b)+P(B_b|A_c)\cdot P(A_c)=\frac{3}{9}\cdot\frac{4}{6}+\frac{2}{9}\cdot\frac{2}{6}=\frac{16}{54}}\)
Zw wzoru Bayesa:
\(\displaystyle{ P(A_b|B_b)=\frac{P(B_b|A_b)\cdot P(A_b)}{P(B_b)}=\frac{\frac{12}{54}}{\frac{16}{54}}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ B_b}\) oznacza zdarzenie, że z 2. urny wylosujemy kulę białą
\(\displaystyle{ A_b}\) że z 1. urny wylosujemy kulę białą
\(\displaystyle{ A_c}\) że z 1. urny wylosujemy kulę czarną
Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:
\(\displaystyle{ P(B_b)=P(B_b|A_b)\cdot P(A_b)+P(B_b|A_c)\cdot P(A_c)=\frac{3}{9}\cdot\frac{4}{6}+\frac{2}{9}\cdot\frac{2}{6}=\frac{16}{54}}\)
Zw wzoru Bayesa:
\(\displaystyle{ P(A_b|B_b)=\frac{P(B_b|A_b)\cdot P(A_b)}{P(B_b)}=\frac{\frac{12}{54}}{\frac{16}{54}}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}}\)