Dowód nierówności, prawdopodobieństwo

[withdrawn]

Pokaż, że \(\displaystyle{ P( \bigcap_{i=1}^{n} A_i ) \ge 1 - \sum_{i=1}^{n} P(A_i^{c})}\)

Zrobiłam to indukcyjnie,natomiast nie wiem czy jest to dobrze zrobione. Proszę więc o sprawdzenie ,poprawienie, lub poprawne rozwiązanie kochani

teza: \(\displaystyle{ P(\bigcap_{i=1}^{n+1} A_i) \ge 1 - \sum_{i=1}^{n+1} P(A_i^{c} )}\)

\(\displaystyle{ L = P(\bigcap_{i=1}^{n} A_i \cap A_{n+1} ) \ge P(\bigcap_{i=1}^{n} A_i) + P(A_{n+1}) - 1 \ge 1 - \sum_{i=1}^{n}P(A_i^{c}) + P (A_{n+1}) - 1 = - \sum_{i=1}^{n}P(A_i^{c}) + 1 - P(A_{n+1} ^{c}) = 1 - \sum_{i=1}^{n+1}P(A_i^{c})}\).

Znajomy jednak podsunął mi jeszcze taki sposób:

\(\displaystyle{ P( \bigcap_{i=1}^{n} A_i ) \ge 1 - \sum_{i=1}^{n} P(A_i^{c})}\)

\(\displaystyle{ 1 - P( \bigcap_{i=1}^{n} A_i ) \le \sum_{i=1}^{n} P(A_i^{c})}\)

\(\displaystyle{ P(\bigcup_{i=1}^{n} A_i^{c}) \le \sum_{i=1}^{n} P (A_i^{c})}\)

i niby juz:> no moge sie zgodzić z tym,że jest to prawda bo znam np. nierownosc boola z definicji i podpinajac to pod to, przyznaje racje tej nierowności..
a na marigniesie jaki jest dówód :
\(\displaystyle{ P( A \cup B ) \le P (A) + P( B)}\)

[miodzio1988]

a na marigniesie jaki
jest dówód :
\(\displaystyle{ P( A \cup B ) \le P (A) + P( B)}\)

Inne oznaczenia weźmiemy:

\(\displaystyle{ P( A _{1} \cup A _{2} ) \le P (A _{1} ) + P( A _{2} )}\)
\(\displaystyle{ B _{1}= A _{1}}\)

\(\displaystyle{ B _{2}= A _{2} - A _{1}}\)

\(\displaystyle{ B _{1} \cap B _{2} = \emptyset}\)

\(\displaystyle{ P( A _{1} \cup A _{2} )= P( B _{1} \cup B _{2} )= P( B _{1} ) + P( B _{2} ) \le P( A_{1} ) + P( A _{2} )}\)

Skorzystaliśmy z:

\(\displaystyle{ P(A \cup B)= P(A)+ P(B)}\)

Gdy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są rozłączne

[withdrawn]

okey.... a to moje zadanie jest dobrze?

[miodzio1988]

Druga wersja do bani. Nie zaczynamy nigdy od tezy.