klocki domino

[milena_sam]

"Komplet klocków Domino składa się z \(\displaystyle{ 28}\) klocków, każdy klocek odpowiada nieuporządkowanej parze liczb \(\displaystyle{ (i,j), i,j=1,...,6}\). Mówimy że klocek \(\displaystyle{ B(k,l)}\) możemy dołożyć do klocka \(\displaystyle{ A(i,j)}\), jeżeli \(\displaystyle{ k=i}\) lub \(\displaystyle{ k=j}\) lub \(\displaystyle{ l=i}\) lub \(\displaystyle{ l=j}\). Dwa klocki pasujące układamy tak, aby jednakowe liczby były obok siebie, na przykład: \(\displaystyle{ A(1,2)B(2,0)}\). Następny klocek możemy dołożyć do otrzymanego ciągu, jeżeli jest na nim licba równa jednej ze skrajnych liczb otrzymanego ciągu (w przykładzie liczba \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 0}\)). Losujemy kolejno trzy klocki \(\displaystyle{ K, L, M}\) bez zwracania. Obliczyć prawdopodobieństwo, że klocek \(\displaystyle{ M}\) możemy dołożyć do ciągu utworzonego z klocków \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\), jeżeli wiadomo, że klocki \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) pasują do siebie."

Odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{11}{26}}\)

[pajong8888]

Niech A oznacza zdarzenie, kiedy klocek M pasuje do tych dwóch klocków.
Zdarzenie B oznaczmy jako, że K i L do siebie pasują.
Niech \(\displaystyle{ A_1}\) oznacza zdarzenie, gdy wśród klocków K i L znajduje się jeden, w którym obydwie połówki mają tyle samo oczek.
Niech \(\displaystyle{ A_2}\) oznacza zdarzenie, w którym nie ma takiego klocka pośród K i L.
Zdarzenia \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ A_2}\) pod warunkiem zdarzenia B oznaczmy przez \(\displaystyle{ B_1}\) i \(\displaystyle{ B_2}\)
\(\displaystyle{ P(A_1)= \frac{7}{28}\cdot \frac{6}{27}=\frac{1}{18}}\)
\(\displaystyle{ P(A_2)=\frac{21}{28}\cdot \frac{10}{27}=\frac{5}{18}}\)
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{1}{3}}\) suma \(\displaystyle{ P(A_1)}\) i \(\displaystyle{ P(A_2)}\)
\(\displaystyle{ P(B_1)=P(A_1|B)=\frac{P(A_1)}{P(B)}=\frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ P(B_2)=\frac{5}{6}}\)
\(\displaystyle{ B_1}\) i \(\displaystyle{ B_2}\) sa zdarzeniami rozłącznymi więc można skorzystać ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.
\(\displaystyle{ P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)=(\frac{5}{26}+\frac{6}{26})\cdot \frac{1}{6}+(2\cdot\frac{6}{26}-\frac{1}{26})\cdot \frac{5}{6}=\frac{11}{26}}\)

Wyjaśnień trochę dam teraz:
Zawsze dwie skrajne liczby oczek będą różne. W przypadku, gdy jedna kostka będzie miała po obu stronach tą sama liczbą oczek, to możliwości z jednej strony jest tylko 5, z drugiej 6. Gdy nie zajdzie takie zdarzenie to po obu stronach mamy po 6 możliwości, ale trzeba odjąć jedną możliwość, gdy na jednej kostce znajdą się te dwie liczby oczek jakie mamy w skrajnych przypadkach K i L.

[milena_sam]

Nie bardzo rozumiem skąd wzięły Ci się takie liczby przy obliczaniu \(\displaystyle{ P(A_{1})}\)