przecięcie się cięciw

[milena_sam]

"Wybieramy losowo i niezależnie punkty \(\displaystyle{ P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}}\) z pewnego okręgu. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że cięciwy \(\displaystyle{ P_{1} P_{2}}\) i \(\displaystyle{ P_{3} P_{4}}\) przecinają się."

Odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)

[pajong8888]

Mamy okrąg. Startujemy od dowolnie wybranego punktu i poruszamy się wzdłuż okręgu w dowolnym kierunku. Niech to będzie \(\displaystyle{ P_1}\). Żeby zaszło zdarzenie, które jest wymagane w treści zadania następnym puntem musi być \(\displaystyle{ P_3}\) lub \(\displaystyle{ P_4}\). Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\), ponieważ mamy do dyspozycji trzy punkty \(\displaystyle{ P_2, P_3, P_4}\). Następnie mamy do zbadania dwa punkty i żaby zaszło to zdarzenie nastepnym punktem musi być \(\displaystyle{ P_2}\), a prawdopodobieństwo tego wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}}\)

[milena_sam]

Dzięki