student i egzamin

[milena_sam]

Mam problem z takim zadaniem:

"Studenci na egzaminie ustnym otrzymują pytania, na które mogą udzielić odpowiedzi poprawnej bądź fałszywej (nie ma ocen pośrednich). Zbiór możliwych pytań jest nieskończony. Egzamin przebiega w sposób sekwencyjny: najpierw Student otrzymuje dwa losowo wybrane pytania, po czym:
1. w przypadku obu poprawnych odpowiedzi egzamin kończy się wynikiem pozytywnym,
2. w przypadku obu fałszywych odpowiedzi egzamin kończy się wynikiem negatywnym,
3. w pozostałych przypadkach Student otrzymuje następne dwa losowo wybrane pytania, po czym wracamy do punktu 1.
Jednym słowem, egzamin kończy się w momencie, kiedy po raz pierwszy różnica ilości poprawnych i fałszywych odpowiedzi osiągnie 2(zdał) lub -2(oblał). Student ucząc się do egzaminu osiąga stopniowo coraz wyższy poziom prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ p}\) udzielenia poprawnej odpowiedzi na losowo wybrane pytanie. Przy jakim poziomie parametru \(\displaystyle{ p}\) Student powinien przerwać naukę, jeśli jego celem jest zapewnienie (jak najniższym wysiłkiem) prawdopodobieństwa zdania egzaminu równego \(\displaystyle{ 0,8}\). "

Odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{8}{12}}\)

[pajong8888]

Na pewno taki ma wyjść wynik, bo niby to zrobiłem, ale wynik mi wyszedł niewymierny i bardziej mi się wydaje, że jest to wynik poprawny. Wyszedł mi \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}-2}\)

[milena_sam]

Wynik, który podałam na pewno jest poprawny, bo facet od rachunku daje nam zadania z egzaminów na aktuariuszy i nawet znalazłam ten test, więc na \(\displaystyle{ 100 \%}\) to jest \(\displaystyle{ \frac{8}{12}}\). Ale i tak dzięki za pomoc, gdyby jednak wyszedł Ci poprawny wynik i umieściłbyś rozwiązanie byłabym bardzo wdzięczna, bo 1 września mam poprawkę z tego przedmiotu i mnóstwo zadań, których nie umiem rozwiązać.

[pajong8888]

Przedstawię jak to robiłem (wstęp).
Jeżeli p to prawdopodobieństwo udzielenia dobrej odpowiedzi na jedno pytanie, to prawdopodobieństwo zdania egzaminu musi być równe:

\(\displaystyle{ P(Z)=p^2+(1-p)p^3+(1-p)^2p^4+\ldots}\)
czyli nieskończony szereg geometryczny. Ponieważ może w każdej "kolejce" odpowiedzieć na 2 pytania dobrze lub jedno dobrze i jedno źle. Na pewno ostatnia "kolejka" musi kończyć się podwójnym sukcesem.
\(\displaystyle{ 0\leq p\leq 1\Rightarrow 0\leq 1-p\leq 1}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}0\leq p\leq 1\\0\leq 1-p\leq 1\end{cases}\Rightarrow 0\leq p(1-p)\leq 1}\)
Więc \(\displaystyle{ P(Z)=\frac{p^2}{1-p(1-p)}}\)
Z innej strony \(\displaystyle{ P(Z)=0,8}\)

Wylicz p.