trafianie do celu

[milena_sam]

Mam problem z zadaniem:

"Mamy dwóch strzelców. Prawdopodobieństwo trafienia w cel pojedynczym strzałem wynosi dla lepszego z nich \(\displaystyle{ 0,8}\), a dla gorszego \(\displaystyle{ 0,4}\). Nie wiemy, który z nich jest gorszy, a który lepszy. Testujemy strzelców poddając ich ciągowi prób, z których każda polega na oddaniu jednego strzału przez każdego z nich. Test przerywamy po pierwszej takiej próbie, w wyniku której jeden ze strzelców trafił, a drugi spudłował. Następnie ten strzelec, który w ostatniej próbie trafił, oddaje jeszcze jeden strzał. Jakie jest prawdopodobieństwo, iż tym razem także trafi w cel?"

Odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{26}{35}}\)

[pajong8888]

Tu także trzeba skorzystać ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. trzeba tylko znaleźć rozłączne zdarzenia.

Niech zdarzenie \(\displaystyle{ X_1}\) oznacza zdarzenie, które mówi, że w przypadku gdy jeden spudłował a drugi trafił, to trafił ten lepszy strzelec. A \(\displaystyle{ X_2}\) mówi o tym, że w podobnym przypadku trafił drugi strzelec.
Te próby, które zakończyły się remisem sa niezależne od tej próby, ponieważ prawdopodobieństwo trafienia do celu przez poszczególnych strzelców sie nie zmienia.
Niech X oznacza zdarzenie w którym doszło do tego, że jeden spudłował, a drugi trafił (podobnie robię jak z dominem)
\(\displaystyle{ P(X_1)=0,8\cdot 0,6=0,48}\)
\(\displaystyle{ P(X_2)=0,2\cdot 0,4=0,08}\)
\(\displaystyle{ P(X)=P(X_1)+P(X_2)=0,56}\)
Gdy już dochodzi do tego momentu, że jeden ma strzelać to niech:
L- oznacza zdarzenie, że strzela lepszy, a G- gorszy
\(\displaystyle{ P(L)=P(X_1|X)=\frac{0,48}{0,56}=\frac{6}{7}}\)
\(\displaystyle{ P(G)=P(X_2|X)=\frac{1}{7}}\)
Niech A oznacza zdarzenie, że przy ostatnim strzale strzelec trafi w cel.
Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:

\(\displaystyle{ P(A)=P(A|L)P(L)+P(A|G)P(G)=0,8\frac{6}{7}+0,4\frac{1}{7}=\frac{48+4}{70}=\frac{52}{70}=\frac{26}{35}}\)

[milena_sam]

dzięki wielkie:) a jeszcze takie pytanko, skąd mam wiedzieć kiedy powinnam zastosować wzór na prawdopodobieństwo całkowite???

[pajong8888]

Hmmm, dobre pytanie.
Jak w zadaniach masz obliczyć prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia, które zależy od innego zdarzenia. Zdarzenia, którego jednoznacznie nie da się opisać. W tym przykładzie nie wiemy od razu jakie jest prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w ostatnim strzale, ponieważ nie wiemy, który strzelał. Tak więc to zdarzenie zależy od tego który strzelec strzelał.

Zawsze pamiętaj, że suma prawdopodobieństw zdarzeń zależnych (tak jak w tym L i G) musi być równa 1 i muszą być to zdarzenia rozłączne. Więcej na ten temat jest w książce Jakubowskiego Sztencla "Wstęp do teorii prawdopodobieństwa". Świetna książka polecam, kosztuje jak na to co w niej jest zawarte bardzo niewiele. Wraz z trylogia Fichtenholza jest to "Biblia matematyki" (jeśli kogos uraziłem tym zwrotem to przepraszam, ale nie znalazłem lepszego słowa).

[milena_sam]

Do 1 września nie zdążę się w tę książkę zaopatrzyć, ale dzięki

[laser15]

czemu nie można tego zrobić z warunkowego?

[Kartezjusz]

Za dużo możliwości na warunkowe

[laser15]

\(\displaystyle{ S_2}\) -strzelec trafił po raz drugi
\(\displaystyle{ S_1}\) -strzelec trafił za 1 razem

\(\displaystyle{ C_2}\) -strzelał gorszy strzelec
\(\displaystyle{ S_1}\) - strzelał lepszy strzelec
\(\displaystyle{ P(S_2|S_1)= \frac{P(S_2 \cap S_1)}{P(S_1)} =\frac{P(S_2 \cap S_1|C_1)P(C_1)+P(S_2 \cap S_1|C_2)P(C_2)}{P( S_1|C_1)P(C_1)+P( S_1|C_2)P(C_2)}}\)

gdzie zdarzenia \(\displaystyle{ S_1,S_2}\) są niezależne, oraz
\(\displaystyle{ C_1=0,8*0,6}\)
\(\displaystyle{ C_2=0,2*0,4}\)

Co w tym rozumowaniu jest złego ?