Matematyka.pl

Mam jeszcze problem z takim zadaniem, za wszelką pomoc będę niesamowicie wdzięczna, ponieważ przygotowuję się do poprawki:

"W urnie znajdują się trzy kule białe i dwie czarne. Powtarzamy następujące doświadczenie: losujemy z urny kulę, odkładamy na bok i dorzucamy do urny kulę białą. Dopiero po trzykrotnym powtórzeniu doświadczeniu w urnie nie było już kul czarnych. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w pierwszym doświadczeniu wylosowano kulę czarną."

Odpowiedź to: \(\displaystyle{ \frac{4}{7}}\)

Tutaj masz pstwo warunkowe:
\(\displaystyle{ A_{C1}}\) - zdarzenie, że w pierwszym losowaniu wylosowano kulę czarną,
\(\displaystyle{ A_{C3}}\) - zdarzenie, że dopiero po 3 losowaniach w urnie nie było kuli czarnej.
Szukamy:
\(\displaystyle{ P(A_{C1}|A_{C3})}\)
Liczymy:
\(\displaystyle{ P(A_{C1}|A_{C3})=\frac{P(A_{C1} \cap A_{C3})}{P(A_{C3})}}\)
Dopiero po 3 losowaniach nie było w urnie kuli czarnej. Wiemy więc, że w trzecim losowaniu wylosowano kulę czarną. Czyli zdarzenie, że wylosowano kulę czarną w pierwszym losowaniu w iloczynie ze zdarzeniem, że wylosowano kulę czarną w 3 losowaniu oznacza, że w pierwszym losowaniu trafiła się kula czarna, w drugim biała, a w trzecim znowu czarna:
\(\displaystyle{ P(A_{C1} \cap A_{C3}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{8}{125}}\)
Natomiast zdarzenie, że dopiero po 3 losowaniach w urnie nie było kuli czarnej oznacza, ze w 3cim i 1szym albo w 3cim i 2gim losowaniu trafiła się kula czarna, czyli:
\(\displaystyle{ P(A_{C3})= \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{14}{125}}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ P(A_{C1}|A_{C3}=\frac{\frac{8}{125}}{\frac{14}{125}}=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}}\)

Dzięki wielkie