wartość oczekiwana

[marek12]

Ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,...,n\}}\) wybieramy losowo bez zwracania k liczb \(\displaystyle{ (k \leqslant n)}\). Oblicz wartość oczekiwaną różnicy między największą a najmniejszą z wylosowanych liczb.

[fon_nojman]

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ X_{\max},X_{\min}}\) odpowiednio największą i najmniejszą z wylosowanych liczb.

Rozkłady \(\displaystyle{ X_{\max},X_{\min}:}\)

Ustalamy największą wylosowaną liczbę i losujemy \(\displaystyle{ k-1}\) kul z pozostałych
\(\displaystyle{ P(X_{\max}=i)=\frac{ {i-1 \choose k-1} }{ {n \choose k} },\ i=k,k+1,\ldots,n.}\)

Analogicznie
\(\displaystyle{ P(X_{\min}=n+1-i)=\frac{ {i-1 \choose k-1} }{ {n \choose k} },\ i=k,k+1,\ldots,n.}\)

Mamy

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_{\max}-X_{\min})=\mathbb{E}X_{\max}-\mathbb{E}X_{\min}=\frac{1}{{n \choose k}}\left(2\sum_{i=k}^{n}i{i-1 \choose k-1}-(n+1)\sum_{i=k}^{n}{i-1 \choose k-1}\right).}\)

Obie sumę można obliczyć korzystając ze znanego wzoru

\(\displaystyle{ \sum_{i=k}^{n}{i \choose k}={{n+1} \choose {k+1}}}\) (prosta indukcja względem \(\displaystyle{ n}\)).

Drugą otrzymujemy z niego bezpośrednio

\(\displaystyle{ \sum_{i=k}^{n}{i-1 \choose k-1}=\sum_{i=k-1}^{n-1}{i \choose k-1}={n \choose k}.}\)

Pierwszą po pewnych przekształceniach

\(\displaystyle{ \sum_{i=k}^{n}i{i-1 \choose k-1}=\sum_{i=k}^{n}k{i \choose k}=k{{n+1} \choose {k+1}}.}\)

Ostatecznie

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_{\max}-X_{\min})=\frac{1}{{n \choose k}}\left(2k{{n+1} \choose {k+1}}-(n+1){n \choose k}\right)=2k\frac{n+1}{k+1}-(n+1)=(n+1)\frac{k-1}{k+1}.}\)

PS:
Bez liczenia patrząc na początek tego co napisałem widać jak będzie dla sumy, wychodzi \(\displaystyle{ n+1.}\)